🧭 ТФКП

Полюс

Q: Почему возле полюса модуль функции неограниченно растёт?

Из представления $f(z) = g(z)/(z - z_0)^m$: знаменатель стремится к нулю, а аналитическая часть в самой точке равна $g(z_0) \ne 0$. Деля конечное число на всё меньшее, получаем бесконечно большие значения, и модуль уходит в бесконечность по закону $|z - z_0|^{-m}$. От существенно особой точки полюс отличает предсказуемость: там ни конечного, ни бесконечного предела нет, а здесь бесконечность честная и монотонная.

англ. Pole

Особая точка, возле которой функция раздувается до бесконечности: главная часть ряда Лорана конечна, а вычет берётся короткой формулой через производную.

Воронка в реке: вода уходит в одну точку, и чем ближе к центру, тем круче рывок. Так ведёт себя функция возле полюса — особой точки, в которой модуль неограниченно растёт, а предел равен бесконечности. Математика всё аккуратно оформляет: главная часть ряда Лорана обрывается, старшая отрицательная степень $c_{- m} (z - z_{0})^{- m}$ конечна, и число $m$ называют порядком полюса. Простейший образец — $f (z) = 1/ (z^{2} + 1)$ с двумя простыми полюсами $z = \pm i$ .

Практика держится на двух формулах: представление $f (z) = g (z) / (z - z_{0})^{m}$ с аналитической $g$ , у которой $g (z_{0}) \neq = 0$ , и вычет через производную. Для простого полюса хватает предела $res = g (z_{0})$ ; для краткого — дифференцируйте $m - 1$ раз. У многочлена степени $m$ бесконечность — честный полюс того же порядка. Техника вычисления вычетов и разбор задач — в уроке вычеты, приложения к интегралам — в материале применения вычетов, разложения — в рядах Тейлора и Лорана, определения — в терминах ряд Лорана и вычет.

f (z) = \frac{g ( z )}{( z - z _{0} ) ^{m}}, g (z_{0}) \neq = 0 \Rightarrow res_{z = z_{0}} f = \frac{g ^{(m - 1)} ( z _{0} )}{( m - 1 )!}

полюс порядка

m

: главная часть обрывается степенью

(z - z_{0})^{- m}

, а вычет вычисляется одной производной порядка

m - 1

от аналитической части

g

Частые вопросы

Почему возле полюса модуль функции неограниченно растёт?

Из представления $f (z) = g (z) / (z - z_{0})^{m}$ : знаменатель стремится к нулю, а аналитическая часть в самой точке равна $g (z_{0}) \neq = 0$ . Деля конечное число на всё меньшее, получаем бесконечно большие значения, и модуль уходит в бесконечность по закону $∣ z - z_{0} ∣^{- m}$ . От существенно особой точки полюс отличает предсказуемость: там ни конечного, ни бесконечного предела нет, а здесь бесконечность честная и монотонная.

Как определить порядок полюса?

Три пути. Первый — разложить функцию в ряд Лорана: порядок равен старшей отрицательной степени. Второй — учесть кратность нуля знаменателя, если числитель в точке не обнуляется: у $1/ (z^{2} + 1)^{2}$ полюсы второго порядка. Третий — по кратности нуля аналитической функции в знаменателе: у $1/ sin z$ синус имеет простой нуль, значит и полюс простой. Проверьте сами: у $tan z$ полюсы простые.