🧭 ТФКП

Устранимая особая точка

англ. Removable singularity

Особая точка, где функция споткнулась лишь формально: конечный предел существует, после доопределения аналитичность восстанавливается, главная часть ряда пуста.

Порванные колготки штопают: дырочка есть, а ткань вокруг цела. Точно так же устроена устранимая особая точка — точка, где аналитическая функция споткнулась чисто формально: предел $lim_{z \to z_{0}} f (z)$ существует и конечен, и стоит доопределить значение $f (z_{0})$ этим числом, как аналитичность восстанавливается. Эталон — частное $sin z / z$ : его ряд $1 - z^{2} /3! + z^{4} /5! - \dots$ не содержит никакого дефекта. В лорановском разложении главной части нет вовсе: все коэффициенты $c_{- 1}, c_{- 2}, \dots$ равны нулю. Проверьте сами: предел в нуле равен единице.

Критерии взаимозаменяемы: устранимая точка равносильна каждому из трёх условий — существует конечный предел, главная часть ряда Лорана пуста, функция ограничена в проколотой окрестности (теорема Римана). Последнее работает в обе стороны: ограниченность спасает особенность, а взрыв модуля переводит её в полюс. Вычет такой точки всегда нулевой. Приёмы разложения — в материале ряды Тейлора и Лорана, словарная база — в терминах ряд Лорана и вычет, фундамент дифференцируемости — в уроке аналитические функции.

c_{- 1} = c_{- 2} = \dots = 0 \Leftrightarrow \exists z \to z_{0} lim f (z) \in C

устранимая особая точка: пустая главная часть ряда Лорана равносильна существованию конечного предела; доопределение

f (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} f (z)

возвращает аналитичность

Частые вопросы

Чем устранимая особая точка отличается от полюса?

Поведением предела. В устранимой точке предел конечен: функция забывает, что в нуле была не определена, и после заплатки живёт как ни в чём не бывало. В полюсе модуль растёт неограниченно, предел бесконечен, а главная часть ряда Лорана конечна, но непуста. Приём один — смотреть старший отрицательный член: его нет вовсе, штопайте точку, есть — считайте вычет по формуле из материала вычет.

Как быстро распознать устранимую особенность при решении задач?

Разложите функцию в ряд Лорана и посчитайте отрицательные степени. Если их нет — точка устранима: у $sin z / z$ главная часть пуста, а у $sin z / z^{2}$ в ней живёт $1/ z$ , и это уже полюс. Второй быстрый тест — предел: конечный ответ означает заплатку. Таблица разложений и приёмы вычисления пределов собраны в шпаргалке формулы ТФКП — держите её под рукой.