🧭 ТФКП

Лемма Жордана

англ. Jordan's lemma

Приём для интегралов с экспонентой: на верхней дуге множитель e^{iαz} гасит подынтегральную функцию, вклад дуги исчезает, интеграл сводится к вычетам.

Зонт в ливне: сверху капли скользят по куполу и до вас не долетают. Роль купола в комплексной плоскости играет множитель $e^{i α z}$ : при $α > 0$ его модуль $e^{- α y}$ стремительно гаснет с высотой $y$ . Лемма Жордана оформляет наблюдение: если $f (z)$ равномерно стремится к нулю на верхних полуокружностях радиуса $R$ , то интеграл от $f (z) e^{i α z}$ по такой дуге уходит в ноль при $R \to \infty$ . Заметьте: сама $f$ может затухать сколь угодно медленно — тормозом служит именно экспонента.

Оценка честная: длина дуги $π R$ , максимум модуля $M_{R}$ , и интеграл не превышает $π M_{R} (1 - e^{- α R}) / α$ — произведение убывающих множителей. Отсюда рецепт для несобственных интегралов с тригонометрией: замкните контур полукругом сверху, вычислите вычеты и возьмите вещественную или мнимую часть. Техника — в уроке применения вычетов, инструменты — в вычетах и термине вычет, теория сходимости — в материале несобственные интегралы, формулы под рукой — в шпаргалке формулы ТФКП.

\int_{C_{R}} f (z) e^{i α z} d z \leq \frac{π M _{R}}{α} (1 - e^{- α R}) \to 0, \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{i α x} d x = 2 π i Im z_{k} > 0 \sum res_{z = z_{k}} (f (z) e^{i α z})

лемма Жордана и главное следствие: полукруг сверху замыкает контур, дуга исчезает в пределе, и интеграл по всей прямой равен сумме вычетов в верхней полуплоскости

Частые вопросы

Зачем в лемме Жордана множитель e в степени iαz?

Он работает тормозом. На верхней полуокружности высота $y$ положительна, и модуль $∣ e^{i α z} ∣ = e^{- α y}$ экспоненциально падает: чем дальше от вещественной оси, тем меньше вклад дуги. Без такого множителя полукруг мог бы давать ненулевой предел, и замыкание контура было бы незаконным. С ним оценка через $1 - e^{- α R}$ съедает даже медленно затухающую $f$ — лемма спасает интегралы, где обычные оценки бессильны.

Как вычислить интеграл с синусом через лемму Жордана?

Не тащить синус по контуру, а перейти к комплексной экспоненте: $sin α x$ — это мнимая часть $e^{i α x}$ . Интеграл с $e^{i α z}$ считается вычетами в верхней полуплоскости, затем берётся мнимая часть ответа; с косинусом — вещественная. Ловушка: полюсы на вещественной оси требуют полувычетов с множителем $π i$ и малого обхода сверху. Разборы — в материале применения вычетов.