🧭 ТФКП

Формула Муавра

Q: Как извлечь корень n-й степени из комплексного числа?

Записать число в тригонометрической форме $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, затем делить аргумент на $n$ и перебирать полные обороты: $z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)$, $k = 0, \dots, n-1$. Получится ровно $n$ различных корней, лежащих в вершинах правильного $n$-угольника. Частая ошибка — остановиться на одном значении: у вещественного $\sqrt[3]{8}$, кроме $2$, есть ещё пара комплексных соседей.

англ. De Moivre's formula

(cos φ + i·sin φ)ⁿ = cos nφ + i·sin nφ — возведение комплексного числа в целую степень сводится к умножению угла; через неё извлекаются корни и выводятся тригонометрические тождества.

Формула Муавра — правило возведения комплексного числа в целую степень: $(cos φ + i sin φ)^{n} = cos n φ + i sin n φ$ . Доказательство — одна индукция с использованием сложения аргументов при умножении, а смысл глубже техники: на единичной окружности степень — это повторный поворот, поэтому угол умножается, а модуль остаётся единицей. Для общего числа $z = r (cos φ + i sin φ)$ получится $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ . Инструмент опирается на формулу Эйлера и работает на материале урока формы записи и действия.

Два главных приложения. Первое — корни: уравнение $z^{n} = w$ имеет ровно $n$ решений, равномерно расставленных по окружности радиуса $n ∣ w ∣$ с шагом $2 π / n$ — формула Муавра в обратную сторону. Второе — тригонометрия: раскрыв $(cos φ + i sin φ)^{3}$ по биному и приравняв вещественные и мнимые части, мгновенно получаем $cos 3 φ$ и $sin 3 φ$ через степени $cos φ$ и $sin φ$ . Так формулы понижения и кратных углов выводятся без мучительных рекуррент. Место формулы в общей картине форм записи — курс комплексные числа.

z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ), z^{1/ n} = n r (cos \frac{φ + 2 π k}{n} + i sin \frac{φ + 2 π k}{n}), k = 0, \dots, n - 1

степень умножает аргумент, корень делит его на n и даёт ровно n значений — вершинки правильного n-угольника на окружности

Частые вопросы

Как извлечь корень n-й степени из комплексного числа?

Записать число в тригонометрической форме $w = r (cos φ + i sin φ)$ , затем делить аргумент на $n$ и перебирать полные обороты: $z_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 π k}{n} + i sin \frac{φ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, \dots, n - 1$ . Получится ровно $n$ различных корней, лежащих в вершинах правильного $n$ -угольника. Частая ошибка — остановиться на одном значении: у вещественного $38$ , кроме $2$ , есть ещё пара комплексных соседей.

При чём тут тригонометрические тождества?

Формула Муавра связывает два способа вычислить одну степень: прямое умножение углов и раскрытие скобок по биному Ньютона. Приравнивая вещественные и мнимые части, получают выражения $cos n φ$ и $sin n φ$ через степени и произведения синусов и косинусов — то, что вручную выводится многострочно. Обратный ход даёт формулы понижения степени: выразить $cos^{4} φ$ через косинусы кратных углов — стандартная задача, где Муавр экономит полстраницы.