🧭 ТФКП

Интегральная теорема Коши

Q: Что делать, если внутри контура особая точка?

Применить вычеты: интеграл по контуру равен $2\pi i$ на сумму вычетов в особых точках внутри. Технически выручает принцип деформации — интеграл по исходному контуру равен интегралу по маленькой окружности вокруг особой точки, где разложение Лорана считает всё явно. Для $1/z$ получается $2\pi i$, для $1/z^2$ — ноль: вычет отвечает только за коэффициент при $1/z$. Эта техника и есть основное вычислительное орудие курса.

англ. Cauchy's integral theorem

Интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю — фундамент, из которого растут независимость от пути, первообразные и вычеты.

Интегральная теорема Коши утверждает: если $f (z)$ аналитична в односвязной области и на её границе, то $\oint_{Γ} f (z) d z = 0$ по любому замкнутому контуру $Γ$ внутри области. Звучит скромно, но это несущая стена всей ТФКП: из нулевого интеграла по контурам следует независимость интеграла от пути, существование первообразной и далее — интегральная формула Коши, разложения в ряды Тейлора и Лорана, теория вычетов. Контраст с вещественным случаем показательный: у вещественного интеграла по отрезку нет «контуров», поэтому такого автоматического нуля не бывает. Теория интегрирования — в уроке интегралы от КФ.

Ключевое слово — аналитичность внутри: стоит появиться особой точке, и теорема перестаёт действовать, а интеграл может стать ненулевым. Так, $\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{z} = 2 π i$ : подынтегральная функция аналитична всюду, кроме нуля, лежащего внутри контура. Условие односвязности тоже важно — в многосвязной области применяют версию для внешнего и внутренних контуров, из которой следует, что интегралы по граничным контурам компенсируются. Мост к вычислениям — интегральная формула Коши, а механика подсчёта через особые точки — в теме вычеты.

\oint_{Γ} f (z) d z = 0 (f аналитична внутри и на Γ)

теорема Коши: аналитичность внутри замкнутого контура обнуляет интеграл — особые точки единственный источник ненулевого ответа

Частые вопросы

Почему интеграл по замкнутому контуру равен нулю?

Интуитивно: у аналитической функции интеграл не зависит от пути, значит, интеграл туда и обратно компенсируется. Причина глубже — структура дифференциала: условия Коши—Римана делают поле $(u, - v)$ потенциальным, а интеграл по замкнутому пути от потенциального поля равен нулю. Строгая теорема не требует даже непрерывности производной (доказательство Гурса), но требование аналитичности внутри контура — железное: любая особая точка внутри ломает аргумент.

Что делать, если внутри контура особая точка?

Применить вычеты: интеграл по контуру равен $2 π i$ на сумму вычетов в особых точках внутри. Технически выручает принцип деформации — интеграл по исходному контуру равен интегралу по маленькой окружности вокруг особой точки, где разложение Лорана считает всё явно. Для $1/ z$ получается $2 π i$ , для $1/ z^{2}$ — ноль: вычет отвечает только за коэффициент при $1/ z$ . Эта техника и есть основное вычислительное орудие курса.