Принцип максимума
англ. Maximum principle
У гармонической функции максимум и минимум достигаются на границе области, у тепла — на краю или в начальный момент: внутри пиков без источников не бывает.
В комнате без батарей и печек самая тёплая точка обязана примыкать к стене: внутри тепло только перетекает, а не рождается. На этой очевидной физике стоит принцип максимума — у гармонической функции максимум и минимум достигаются на границе области; внутренний экстремум, строго торчащий над краем, запрещён. Для уравнения теплопроводности формулировка расширяется: пик температуры ищи либо на краю, либо в начальный момент .
Первое следствие — единственность задачи Дирихле: разность двух решений с совпадающими граничными значениями гармонична и нулевая на краю, значит нулевая и внутри. Второе — устойчивость: замена граничных данных на величину не больше сдвигает решение внутри не сильнее. Доказательство опирается на свойство среднего: внутренний максимум нарушал бы равенство значения и среднего по окружности. Разбор — в уроке уравнение Лапласа, параболический вариант — в материале уравнение теплопроводности.
Частые вопросы
Как принцип максимума доказывает единственность задачи Дирихле?
Пусть два решения совпадают на границе. Их разность гармонична и на границе равна нулю, значит максимум и минимум разности нулевые, и разность тождественно нулевая — решения слились. Оценка устойчивости достаётся даром: если граничные данные заменить другими с разницей не больше , решение внутри изменится не сильнее той же величины — счёт идёт по максимуму.
Почему у уравнения теплопроводности в принцип добавляется начальный момент?
Потому что время выделено: тепло течёт только вперёд, и область задачи — цилиндр с дном. Максимум ищется на параболической границе: боковая стенка плюс начальное сечение . Стержень мог быть раскалён в момент включения — стартовая температура не обязана сидеть на боковой границе, поэтому её приходится контролировать отдельно — иначе задача потеряет единственность.