Уравнение Лапласа: гармонические функции и принцип максимума

Перед вами мысленная карта изотерм ночного города: линии равной температуры плавно огибают кварталы, нигде не пересекаются и не образуют острых пиков. К полуночи радиаторы и утреннее солнце давно выключены, поля выровнялись, картина перестала меняться. Стационарная температура, электростатическое поле между пластинами без зарядов, течение идеальной жидкости вокруг корпуса корабля — три разные физики, одно уравнение: $\Delta u=0$. Это уравнение Лапласа, и у него самая приятная теория из всего курса математической физики.

Где возникает уравнение Лапласа#

Возьмём уравнение теплопроводности $u_t=a^2\Delta u$ из урока про остывание стержня и спросим: что будет через долгое время, когда всё успокоится? Скорость изменения уйдёт в ноль, $u_t=0$, и останется $\Delta u=0$ — так эволюционная задача переходит в стационарное уравнение теплопроводности. Тепло никуда не исчезло — просто растеклось и перестало перераспределяться. Оператор слева — лапласиан, сумма вторых производных по всем координатам:

Вторая классика — электростатика в области без зарядов. Потенциал и поле связаны через градиент: $\vec{E}=-\mathrm{grad}\phi$; поле без вихрей, а дивергенция в пустоте нулевая — вместе это даёт $\Delta \phi =0$. Механика связи расписана в уроке про напряжённость и потенциал. Третий пример — установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости без завихрений: потенциал скорости снова гармонический. Уравнению присвоено имя Лапласа, который применял его к потенциалу притяжения планет в небесной механике; свойства решений позже систематически изучали Гаусс, Грин и Риман.

Если внутри всё же есть источники — печка или заряд, — уравнение теряет однородность и называется уравнением Пуассона: $\Delta u=-f$, где $f$ кодирует плотность источников. Логика не меняется: частное решение учитывает источники, а гармоническая добавка подгоняет граничные данные — технику сборки ответа из точечных откликов систематизирует функция Грина для УЧП. Поэтому уравнение Лапласа — скелет всей теории потенциала, а Пуассон лишь надстройка над ним: сначала учитесь решать однородный случай, потом добавляете правую часть.

Гармонические функции: кто они такие#

Решения уравнения Лапласа называют гармоническими функциями. Прежде чем искать общую теорию, познакомимся с конкретными примерами — их немного, и все они по-своему знамениты:

• $u=x$, да и вообще любая линейная функция: все вторые производные равны нулю
• $u=x^2-y^2$: проверяем, $u_{xx}=2$ и $u_{yy}=-2$, в сумме ноль
• $u=xy$: обе вторые производные нулевые — гармонична, хотя на вид не линейна
• $u=\ln r=\ln \sqrt{x^2+y^2}$: гармонична всюду, кроме начала координат — там сидит точечный источник

Название «гармонические» не случайность: вещественная и мнимая части любой аналитической функции комплексного переменного гармоничны — так пара $x^2-y^2$ и $2xy$ рождается из $z^2$. Через эту дверь в тему входят аналитические функции и конформные отображения, где плоские задачи Лапласа решаются одним движением руки.

Принцип максимума и его следствия#

Принцип максимума: непостоянная гармоническая функция не достигает наибольшего и наименьшего значения внутри области — экстремумы лежат на границе. На пальцах: внутренний максимум был бы горбом, а у горба обе вторые производные отрицательны, значит, лапласиан строго отрицателен. Гармоничность требует $u_{xx}+u_{yy}=0$ — противоречие. Внутри гармонической функции горбов не бывает: поверхность тянется, как натянутая плёнка, и все её холмы сидят на ободе.

Из принципа максимум извлекается три практических следствия. Первое — единственность задачи Дирихле: если два решения совпадают на границе, их разность гармонична и равна нулю на границе; максимум и минимум разности лежат на границе и равны нулю, значит, разность тождественный ноль. Второе — устойчивость: чуть сдвинули граничные данные — чуть сдвинулось решение, никаких скачков. Третье — запрет горячих точек: без источников внутри температура не превысит максимальной на границе. Если расчёт выдал внутри печку, которой в условии нет — ищите ошибку в выкладках.

Задача Дирихле против задачи Неймана#

Само уравнение — половина постановки; вторая половина живёт на границе. Задача Дирихле: найти гармоническую функцию по её значениям на границе — задать температуры на всех стенках. Задача Неймана: задать на границе нормальную производную $\partial u/\partial n$ — а по закону Фурье это задание теплового потока через стенку.

Условие разрешимости Неймана честное: проинтегрируйте $\Delta u=0$ по области и примените теорему Гаусса–Остроградского — суммарный поток через границу обязан быть нулём, иначе внутри нечему балансировать. Неоднозначность «плюс константа» тоже естественна: прибавьте ко всей температуре десять градусов — потоки не изменятся. В задаче Дирихле обе ловушки отсутствуют, поэтому её разбирают первой и используют как эталон. Совпадение данных на границе целиком определяет решение — это вы уже видели в следствиях принципа максимума.

Прямоугольник и круг: разделение переменных#

Главный экзаменационный пример: круг радиуса $R$, на границе задана температура $f(\phi )$. В полярных координатах лапласиан обзаводится весом у радиуса:

Ищем решение произведением $u=R(r)\Phi (\phi )$ — та же схема разделения переменных, что и для теплопроводности. Угловая часть даёт $\cos n\phi$ и $\sin n\phi$, причём $n$ обязан быть целым: повернёмся на полный оборот — функция обязана вернуться к себе, иначе решения не существует. Радиальная часть даёт степени $r^n$ и $r^{-n}$; ограниченность в центре отбрасывает $r^{-n}$ — температура в физической задаче не может взлетать до бесконечности посреди комнаты. Складываем всё:

Числовой прогон: на границе держат $f(\phi )=\cos \phi$. Все коэффициенты нулевые, кроме $a_1=1$, и ряд схлопывается в $u=(r/R)\cos \phi$. В декартовых координатах это просто $x/R$: линейная функция, гармоничная, как и положено. Возьмём $R=2$ и точку $r=1$, $\phi =0$: там $u=0,5$, хотя на границе было $\cos 0=1$. Множитель $(1/2{)}^1$ разборчиво ослабил первую гармонику — центр всегда «прохладнее» границы, если граница знакопеременная.

Прямоугольник: та же схема, другой гаситель

В прямоугольнике $0<x<a$, $0<y<b$ с нулями на трёх сторонах и данными $u=f(x)$ на верхней стороне схема не меняется. По $x$ получаются синусы $\sin (\pi nx/a)$, по $y$ — уравнение $Y^{\prime \prime }-\lambda Y=0$, чьи решения гиперболические, а не тригонометрические. Ответ:

Дробь с гиперболическим синусом устроена как $(r/R{)}^n$ из круга: на верхней стороне она равна единице и ряд превращается в разложение $f$ по синусам, а при удалении оттуда гаснет. Оба примера — частные случаи одной идеи: граничные данные раскладываются в ряд Фурье, а каждая гармоника получает свой гаситель по второй переменной. Коэффициенты $b_n$ считаются по стандартной формуле с интегралом произведения $f$ и синуса — техника та же, что в уроке про ряды.

Числовой прогон для квадрата со стороной $a=b=1$: нули на трёх сторонах, на верхней $f(x)=100\sin (\pi x)$ — ряд сводится к одному слагаемому с $b_1=100$. Ответ: $u=100\sin (\pi x)\mathrm{sh}(\pi y)/\mathrm{sh}(\pi )$. В центре квадрата ($x=y=0,5$): $\mathrm{sh}(\pi /2)\approx 2,30$, $\mathrm{sh}(\pi )\approx 11,55$, и температура выходит $100\cdot 2,30/11,55\approx 20^{\circ }$ — верхняя стенка успела прогреть середину лишь на пятую часть. Гиперболические синусы растут стремительно: вторая гармоника делится уже на $\mathrm{sh}(2\pi )\approx 268$ и не играет роли, поэтому ряд сходится быстрее, чем в круге.

Формула среднего значения#

В ряде для круга спрятан подарок. Подставьте $r=0$: все слагаемые с $n\ge 1$ умножаются на ноль, остаётся $u(0)=a_0/2$. А $a_0/2$ — среднее значение функции $f$ по границе. Значит, температура в центре круга равна среднему по окружности:

То же верно для любой точки и любой окружности вокруг неё, целиком лежащей в области: значение в центре — среднее по окружности, и это теорема о среднем значении гармонической функции. Проверка без вычислений: верхняя половина границы при 100°, нижняя при 0° — в центре ровно 50°, среднее по кругу. В пересчёте на экзамен это самая быстрая проверка ответа: подставьте центр, посчитайте среднее, сверьте. Формула среднего и принцип максимума — родственники: если значение в каждой точке есть среднее по окружности, превысить все окружающие значения невозможно.

Следующий шаг — перевести круговые спектры на общий язык. В уроке про задачу Штурма–Лиувилля выяснится, почему угловые гармоники обязаны быть целыми и что их связывает с синусами стержня. Если тянет в комплексный мир — открывайте конформные отображения: плоские задачи Дирихле там решаются подбором аналитической функции. А для повторения разложений держите под рукой шпаргалку по рядам.