🌐 Матфизика

Уравнение Пуассона

англ. Poisson's equation

Неоднородный собрат уравнения Лапласа: правая часть задаёт плотность источников — зарядов, масс, нагревателей; решается как частное решение плюс гармоническая добавка.

Включите батарею — тепло теперь не просто растекается, а рождается. Правая часть $f$ в уравнении Пуассона $Δ u = f$ и есть плотность источников: электрические заряды дают $Δ φ = - ρ / ε_{0}$ , гравитирующие массы — $ΔΦ = 4 π Gρ$ . При нулевой правой части уравнение превращается в уравнение Лапласа. Линейность оператора делает суперпозицию честной: два заряда дают сумму полей. В системе СИ у электростатики знак минус: напряжённость идёт от заряда, а потенциал вдоль поля убывает.

Стандартная стратегия: найти хоть какое-то частное решение с данной правой частью, а затем добавить гармоническую функцию, чтобы попасть в граничные условия. Для точечного источника частное решение известно заранее — фундаментальное решение $1/ (4 π r)$ в трёхмерии; свёртка с ним собирает ответ для любой плотности. Неоднородные постановки и разбор задач — в уроке неоднородные задачи и метод Фурье, детальнее о точечном отклике — в материале фундаментальное решение, численно уравнение сводится к разреженной системе — приёмы в курсе численные методы СЛАУ.

Δ u = f, Δ φ = - \frac{ρ}{ε _{0}}, ΔΦ = 4 π Gρ

уравнение Пуассона и его физические лица: у электростатики знак минус — напряжённость направлена от положительного заряда, а потенциал вдоль поля убывает

Частые вопросы

Откуда в гравитационном уравнении берётся множитель 4π?

Из площади сферы. Точечная масса создаёт поле, поток которого через любую замкнутую поверхность пропорционален массе внутри — теорема Гаусса. Дивергенция сферически симметричного поля $1/ r^{2}$ равна нулю всюду, кроме нуля, а интеграл по сфере радиуса $r$ даёт $4 π r^{2}$ — отсюда множитель $4 π$ в правой части. У электростатики логика та же, константа меняется на $1/ ε_{0}$ .

Можно ли решить уравнение Пуассона без граничных условий?

Нет, решение не определено: к любому частному решению можно прибавить гармоническую функцию — например, линейную — и получить другой ответ с той же правой частью. Нужна закрепка: значения на границе, поток через неё или условие на бесконечности вроде стремления к нулю. Только с полным набором данных задача однозначна, а физически описывает конкретную установку, а не целый класс.