Метод разделения переменных (метод Фурье): шаги и примеры

Скрипичная струна зажата в двух точках — и всё же колеблется бесконечным числом способов: вся целиком, двумя половинами в противофазе, тремя третями... Метод Фурье (второе имя — метод разделения переменных) утверждает: набор этих «форм колебания» счётный, каждая дышит со своей частотой, а любое движение струны складывается из них, как аккорд из нот. Сейчас соберём этот механизм деталь за деталью на уравнении струны — и он же, с мелкими правками, обслужит тепло, Лапласа и всё остальное.

Постановка: струна с закреплёнными концами#

Ищем функцию $u(x,t)$ — смещение точки струны с координатой $x$ в момент $t$. Задача целиком:

Первые два равенства — граничные условия: концы струны не двигаются. Вторая пара — начальные условия: в момент $t=0$ струне заданы форма $\phi$ и скорость $\psi$. Оба сорта данных обязаны стыковаться на концах отрезка — это условия согласования. Обратите внимание на однородность: и уравнение, и граничные условия не содержат свободных членов — перед нами однородное уравнение и однородные граничные условия. Это не прихоть — на ней держится весь метод.

Идея метода: ищем решение в виде произведения#

Попробуем отыскать решения особого устройства: переменные разделились, $u(x,t)=X(x)\cdot T(t)$, где $X$ живёт только на оси $x$, а $T$ — только во времени. Подставляем в уравнение: $X{T}^{\prime \prime }=a^2{X}^{\prime \prime }T$. Делим на $a^{2}XT$ — и происходит маленькое чудо:

Левая часть не зависит от $x$, правая — от $t$. Равенство держится при всех $x$ и $t$ сразу, а это возможно лишь когда обе части равны одной и той же константе. Обозначаем её $-\lambda$: знак минус — соглашение, вскоре станет ясно, что нетривиальные решения с закреплёнными концами дают только $\lambda >0$. Одно УЧП развалилось на два ОДУ:

Оба уравнения — линейные однородные с постоянными коэффициентами, их решают через характеристическое уравнение, как разобрано в уроке про линейные однородные ДУ. Но у задачи на $X$ есть козырь: краевые условия $X(0)=X(L)=0$, унаследованные от струны.

Откуда берётся спектр $\lambda_n = (\pi n / L)^2$?#

Значение $\lambda$ никто не задал — его придётся выцарапать из краевых условий. Перебираем все знаки.

1. 1
   $\lambda <0$, скажем $\lambda =-k^2$: решение $X=C_1{e}^{kx}+C_2{e}^{-kx}$. Условие $X(0)=0$ даёт $C_2=-C_1$, условие $X(L)=0$ — $C_1(e^{kL}-e^{-kL})=0$. Скобка строго положительна, значит $C_1=0$ — только нулевое решение.
2. 2
   $\lambda =0$: решение $X=C_{1}x+C_2$. Из $X(0)=0$ следует $C_2=0$, из $X(L)=0$ — $C_1=0$. Снова нуль.
3. 3
   $\lambda >0$: решение $X=A\cos (\sqrt{\lambda }x)+B\sin (\sqrt{\lambda }x)$. Условие $X(0)=0$ убивает косинус: $A=0$. Остаётся $B\sin (\sqrt{\lambda }L)=0$.
4. 4
   В третьем случае впервые есть выбор: чтобы $B\ne 0$, требуем $\sin (\sqrt{\lambda }L)=0$, то есть $\sqrt{\lambda }L=\pi n$, $n=1,2,3,\dots$

Числа ${\lambda }_n$ — собственные значения, функции $X_n$ — собственные функции задачи; сама постановка «ОДУ + краевые условия, где параметр выбирается так, чтобы решение было ненулевым» — это задача Штурма–Лиувилля, у неё отдельный урок: Штурм–Лиувилль и собственные функции. Смысл спектра физичен: струна «умеет» лишь счётный набор форм — одна полуволна, две, три... Константу при $X_n$ оставляем равной единице: масштаб уедет в коэффициенты $T$.

Что происходит с $T$: гармонические моды#

Для каждого собственного значения уравнение на время — гармонический осциллятор: $T^{\prime \prime }+a^2{\lambda }_{n}T=0$, то есть $T^{\prime \prime }+{\omega }_n^{2}T=0$ с частотой ${\omega }_n=\pi na/L$. Его общее решение:

Произведение $X_n(x)T_n(t)$ — стоячая волна: профиль по $x$ зажат между множителем $\sin (\pi nx/L)$, и все точки качаются в одной фазе с частотой ${\omega }_n$. Частоты растут линейно по номеру: $n$-я мода звучит в $n$ раз выше основной — это чистая арифметика ${\omega }_n=n{\omega }_1$.

У каждой моды свои узлы и пучности. Точки, где sinrac{pi n x}{L} = 0, — это x = rac{kL}{n}, $k=1,dots,n-1$: они не двигаются вообще. У основной моды узлов внутри нет — качается вся струна; у второй — неподвижная середина; у третьей — две неподвижные точки. Именно поэтому прижатую пальцем струну заставляют делиться: палец делает точку узлом, и звучат лишь те моды, у которых узел совпал с пальцем.

Как собрать общее решение и разложить начальные условия#

Уравнение линейно, поэтому сумма любых решений — снова решение (принцип суперпозиции). Складываем все моды со своими константами:

Почему достаточно произведений $XT$, ведь далеко не каждая функция так устроена? Ответ в суперпозиции: сумма произведений — уже произвольная функция. Чем больше мод сложили, тем богаче форма; в пределе ряд покрывает практически любую разумную начальную форму — эту гарантию даёт полнота системы собственных функций. Это как оркестр: ни один инструмент не играет мелодию целиком, но вместе они покрывают её весь спектр.

Осталось подобрать $A_n$ и $B_n$. Подставим $t=0$: косинусы станут единицами, синусы нулями, и $u(x,0)=\sum A_n\sin \frac{\pi nx}{L}$. Значит, требуется $\phi (x)=\sum A_n\sin \frac{\pi nx}{L}$. Дифференцируем ряд по $t$ и снова кладём $t=0$: $\psi (x)=\sum \frac{\pi na}{L}{B}_n\sin \frac{\pi nx}{L}$. Начальные условия сами превратились в две задачи о разложении функции в ряд по синусам.

Ортогональность синусов — двигатель всей конструкции

Проверим численно на $L=\pi$, $n=1$, $m=2$. Произведение $\sin x\sin 2x=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 3x)$, интеграл $\frac{1}{2}{\left[\sin x-\frac{1}{3}\sin 3x\right]}_0^{\pi }=0$ — разные моды ортогональны. А ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ — ровно половина длины. Механика извлечения коэффициентов: умножаем разложение на $\sin \frac{\pi mx}{L}$, интегрируем от $0$ до $L$ — все слагаемые умирают, кроме одного.

Формула для $A_n$ — это разложение функции в тригонометрический ряд Фурье по синусам; техника суммирования и примеры — в уроке ряды Фурье, а словарная статья — ряд Фурье. Для $B_n$ то же самое, но с делением на частоту: раз начальная скорость «раскручивает» моды, быстрой моде хватает меньшего коэффициента.

Пример от и до: две моды на пальцах#

1. 1
   Спектр при $L=\pi$: ${\lambda }_n=n^2$, собственные функции $\sin nx$.
2. 2
   Коэффициенты $A_n$: разложение $\phi$ уже готово — $3\sin x$ есть первая мода, значит $A_1=3$, остальные нули. Контроль по формуле: $A_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }3{\sin }^{2}xdx=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{3\pi }{2}=3$.
3. 3
   Коэффициенты $B_n$: условие $\psi (x)=\sum n{B}_n\sin nx$ даёт $2B_2=2$, то есть $B_2=1$, остальные нули.
4. 4
   Ответ: $u(x,t)=3\sin x\cos t+\sin 2x\sin 2t$.
5. 5
   Проверка начальных данных: $u(x,0)=3\sin x$ — совпало; $u_t=-3\sin x\sin t+2\sin 2x\cos 2t$, при $t=0$ получаем $2\sin 2x$ — совпало.
6. 6
   Проверка уравнения: $u_{tt}=-3\sin x\cos t-4\sin 2x\sin 2t$ и $u_{xx}=-3\sin x\cos t-4\sin 2x\sin 2t$ — равны, $a=1$ учтено. Граничные условия выполнены автоматически: синусы на концах нули.

Моды не перемешиваются: начальная форма кормит только первую моду, начальная скорость — только вторую. Виновата ортогональность: интеграл от произведения разных синусов нулевой, так что каждая мода забирает свою долю начальных данных и дальше живёт независимо. На этом свойстве стоит вся спектральная теория — от струны до квантовой механики.

Метод Фурье — не альтернатива другим методам, а сортировочная станция: он превращает УЧП с краевыми условиями в спектральную задачу. То же уравнение без границ, на бесконечной струне, быстрее решается через характеристики — об этом рассказывают уроки метод характеристик и волновое уравнение и колебания струны. Для тепла и Лапласа схема метода не меняется — меняется только уравнение на $T$; увидите это в уравнении теплопроводности.