Начальные условия

Нестационарная задача отвечает на вопрос «что будет дальше?», а для этого нужно знать, что было в начале. Начальные условия — данные при $t=0$: профиль температуры $u(0,x)=\phi (x)$ для уравнения теплопроводности; для волнового уравнения их два — начальная форма $\phi (x)$ и начальная скорость $u_t(0,x)=\psi (x)$. Количество начальных условий равно порядку уравнения по времени: теплопроводность первого порядка — одно условие, волновое уравнение второго порядка — два. Забыли скорость — задача недоопределена: одна и та же форма струны может либо покоиться, либо уже двигаться, и будущее у этих сценариев разное. Поэтому в решениях по Фурье моды содержат две константы на каждую гармонику, и обе фиксируются стартовыми данными.

Начальные и граничные условия играют разные роли: первые задают состояние всей области в момент старта, вторые — режим на границе в течение всего времени. Если область — вся прямая, граничных условий нет вовсе, и задача называется задачей Коши; на отрезке заданы оба сорта данных, и постановка называется смешанной. Разбор эволюционных постановок — в терминах задача Коши для УЧП и смешанная задача; живые примеры — в уроках волновое уравнение и уравнение теплопроводности; потренировать подбор данных можно в тренажёре тренировка по математической физике. Помните и про соседство данных: начальный профиль обязан согласовываться с граничными условиями в углах области.