Волновое уравнение: колебания струны и формула Даламбера

Оттяните струну гитары на пару сантиметров и отпустите. Длина её — около 65 сантиметров, волна бежит по металлу со скоростью примерно 107 метров в секунду — и вот результат: струна гудит на частоте 82 герца, нота ми большой октавы. Откуда вообще берётся это число? Не из настроечного приложения — из одного дифференциального уравнения, которое мы сейчас выведем и решим; второе его имя — уравнение колебаний струны. Волновое уравнение — первый акт всего курса математической физики, и он короче, чем кажется.

Как вывести уравнение струны из второго закона Ньютона#

Струна — тонкая нить с плотностью $\rho$ (кг/м), натянутая силой натяжения $T$ (ньютонов). Колебания малы: прогиб $u(x,t)$ невелик, наклон струны в каждой точке мал, и саму нить не растягивает. Вырежем кусочек между $x$ и $x+dx$. По вертикали на него давит разность натяжений на концах: сила равна $T(u_x(x+dx)-u_x(x))\approx T{u}_{xx}dx$ — производная наклона, умноженная на натяжение и длину кусочка.

Масса кусочка — $\rho dx$, ускорение вертикальное — $u_{tt}$. Второй закон Ньютона $mw=F$ даёт $\rho dx\cdot u_{tt}=T{u}_{xx}dx$. Сокращаем $dx$:

Коэффициент $a=\sqrt{T/\rho }$ — это скорость волны. Смысл читается прямо из формулы: сильнее натянута — быстрее бежит, тяжелее струна — медленнее. Проверим размерность: $[T]=\text{Н}=\text{кг}\cdot \text{м}/{\text{с}}^2$, $[\rho ]=\text{кг}/\text{м}$, отношение $T/\rho ={\text{м}}^2/{\text{с}}^2$ — под корнем ровно квадрат скорости. Для гитарной струны выше: $a=107$ м/с. То же уравнение обслуживает звук в органной трубе и ток в длинной линии — различие лишь в смысле $u$ и значении $a$.

Что говорит формула Даламбера#

Бесконечная струна без границ: заданы начальная форма $u(x,0)=\phi (x)$ и начальная скорость $u_t(x,0)=\psi (x)$. Ответ, который вывели Даламбер и Эйлер, а мы добыли через характеристики в уроке метод характеристик:

Расшифруем по частям. $\phi (x-at)$ — начальный профиль, уехавший вправо со скоростью $a$; $\phi (x+at)$ — тот же профиль, уехавший влево; их среднее — вклад начальной формы. Интеграл — вклад начальной скорости: каждый кусочек струны, получивший толчок $\psi$, подпирает решение на всём отрезке между характеристиками $x-at$ и $x+at$.

Формула проверяется за минуту. При $t=0$ пределы интеграла сжимаются в точку — интеграл нулевой, а среднее двух копий $\phi$ даёт $\phi (x)$: начальная форма на месте. Дифференцируем по $t$ и снова кладём $t=0$: от слагаемых с $\phi$ остаётся $\frac{1}{2}(-a{\phi }^{\prime }+a{\phi }^{\prime })=0$, от интеграла по правилу Лейбница $\frac{1}{2a}(\psi (x)a+\psi (x)a)=\psi (x)$ — начальная скорость на месте. Числа сошлись, и это не подгонка: $u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0$ проверяется той же подстановкой.

Из формулы видно, кто от кого зависит: решение в точке $(x,t)$ опирается только на начальные данные между характеристиками $x-at$ и $x+at$. Это область зависимости — и она конечна, в отличие от уравнения теплопроводности, где возмущение мгновенно чувствуется везде. Волновая информация едет не быстрее $a$: удар по одному концу струны другой конец услышит через $L/a$ секунд. На этом свойстве стоит вся аккуратная постановка задачи Коши для гиперболических уравнений — её существование, единственность и устойчивость, то есть корректность задачи, — и стоящий за ней принцип причинности.

Числовой пример. Пусть $a=2$, начальная скорость нулевая, начальная форма — холм $\phi (x)=\frac{1}{1+x^2}$. Тогда $u(x,t)=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+(x-2t{)}^2}+\frac{1}{1+(x+2t{)}^2}\right]$: холм расщепляется на два одинаковых холма, разбегающихся со скоростью 2. При $t=0$ они складываются в исходный, и высота в нуле сначала падает — струна «отдаёт» форму двум волнам.

Почему струна звучит обертонами#

У гитарной струны есть концы, и они закреплены: $u(0,t)=u(L,t)=0$. Бегущие волны отражаются от концов, и картина меняется: решение собирается из стоячих волн — тех самых мод, которые выдаёт метод разделения переменных:

Круговая частота ${\omega }_n=\frac{\pi na}{L}$, обычная частота в герцах:

Считаем для гитары: $L=0,65$ м, $v=a=107$ м/с. Основной тон $f_1=\frac{107}{2\cdot 0,65}\approx 82$ Гц — нота ми. Обертоны: $f_2\approx 164$ Гц — октава вверх, $f_3\approx 246$ Гц, $f_4\approx 328$ Гц. Отношения частот — ряд целых чисел, и слух воспринимает их как созвучия: октава — 2:1, квинта — 3:2. Тембр инструмента — это рецепт, в каких долях моды замешаны в звуке; скрипка и гитара играют одну ноту по-разному именно из-за разных коэффициентов.

Узлы моды номер $n$ стоят в точках $x=\frac{kL}{n}$: у второй моды неподвижна середина, у третьей — точки на трети длины. Легонько коснитесь струны пальцем ровно посередине и щипните — зазвучит октава. Флажолет работает потому, что палец превращает середину в узел: выживают только моды с узлом в этой точке, то есть чётные, а главная среди них — вторая. Спектральная теория в чистом виде, играемая руками.

Ту же картину можно увидеть глазами Даламбера: бегущая волна, добежав до закреплённого конца, отражается с переворотом — горб возвращается впадиной, чтобы сумма пришедшей и отражённой волн в точке крепления всегда была нулём. Взаимный бег волн в противоположные стороны и даёт стоячий профиль: где фазы совпадают — пучность, где гасят друг друга — узел. Так одна и та же физика выглядит то бегом, то дыханием мод.

Куда девается энергия колебаний#

У колебаний есть две копилки. Кинетическая энергия — движение кусочков струны со скоростью $u_t$: плотность $\frac{\rho u_t^2}{2}$ на единицу длины. Потенциальная — работа против натяжения при изгибе, она пропорциональна квадрату наклона: плотность $\frac{T{u}_x^2}{2}$. Полная энергия струны:

Для стоячей волны копилки качаются в противофазе. В момент максимального отклонения $\cos =\pm 1$, но $u_t=0$ — вся энергия потенциальная, струна натянута горбом. Четверть периода спустя струна проходит через прямую: $u_x=0$, зато скорость максимальна — вся энергия кинетическая. Сумма при этом постоянна: волновое уравнение без трения сохраняет $E$, и это можно проверить подстановкой моды прямо в интеграл. Такая сохраняемость — частный случай энергетического неравенства, на котором держатся единственность и устойчивость волновых задач.

Бегущей волне теснее: у $\phi (x-at)$ профиль и скорость согласованы, и энергия течёт вместе с волной вправо со скоростью $a$ — плотность энергии едет, как груз на поезде; расходящаяся во все стороны волна вдобавок тает с расстоянием — так устроены сферические волны. Для полубесконечной струны это даёт быстрый ответ на вопрос «сколько энергии унесла волна»: столько, сколько накопил интеграл плотности на пройденном отрезке. Подробнее о колебаниях без волн — в уроке механические колебания, а механика волн в среде разобрана в волнах и звуке.

Даламбер или Фурье: что выбирать?#

Одно уравнение — два инструмента. Формула Даламбера выигрывает на бесконечной или полубесконечной струне: ответ пишется сразу через $\phi$ и $\psi$, никаких рядов. Метод Фурье из урока метод разделения переменных (метод Фурье) нужен, когда есть края и граничные условия: он выдает спектр мод, готовый и для физики, и для техники. Решения при этом совпадают: каждая стоячая волна складывается из двух бегущих, и ряд Фурье перепаковывает формулу Даламбера для струны конечной длины.

Практическое правило: границы существенны — Фурье, границ нет — Даламбер. Вопрос «как звучит струна» — это Фурье, вопрос «что станет с профилем через секунду» — Даламбер. Классификация, объясняющая, почему у уравнения два семейства характеристик, — в уроке уравнения в частных производных: классификация и канонический вид, а параболический сосед с совсем другим поведением — в уравнении теплопроводности.

• Уравнение $u_{tt}=a^2{u}_{xx}$ выводится из второго закона Ньютона для кусочка струны; $a=\sqrt{T/\rho }$ — скорость волны
• Формула Даламбера: половины начальной формы бегут в стороны, интеграл добавляет вклад начальной скорости
• Волна $\phi (x-at)$ бежит вправо, $\phi (x+at)$ — влево, профиль не искажается
• Закреплённые концы дают моды $\sin \frac{\pi nx}{L}$ и частоты $f_n=\frac{nv}{2L}$ — ряд обертонов
• Энергия $E=\frac{1}{2}\int (\rho u_t^2+T{u}_x^2)dx$ сохраняется и качается между кинетической и потенциальной копилками

Следующая остановка курса — параболический мир: уравнение теплопроводности покажет, что происходит, когда вместо двух вторых производных остаётся одна и время становится необратимым.