🌐 Матфизика

Уравнение колебаний струны

англ. String vibration equation

Уравнение малых поперечных колебаний струны u_tt = a²u_xx с a² = T/ρ: вывод из второго закона Ньютона для элемента струны плюс условия закрепления концов и начальные форма и скорость.

Натяните нить, дёрните и спросите: как она вибрирует? Выделим элемент длиной $d x$ . Колебания малы — нить почти прямая, поэтому натяжение $T$ по всей длине одно и то же, а вертикальная равнодействующая есть разность проекций натяжения на концах: $T u_{x} (x + d x) - T u_{x} (x) = T u_{xx} d x$ . Второй закон Ньютона по вертикали: $ρ d x u_{tt} = T u_{xx} d x$ , где $ρ$ — линейная плотность. Сокращаем $d x$ и получаем уравнение колебаний струны: $u_{tt} = a^{2} u_{xx}$ с $a^{2} = T / ρ$ . Вся кинематика упакована в одну константу: сильнее натяжение — волна быстрее, тяжелее струна — медленнее.

По форме это одномерное волновое уравнение — общее уравнение, его свойства и формула Даламбера разобраны там; имя «колебаний струны» держит акцент на выводе и постановке. Конец закреплён — $u = 0$ , условие Дирихле; конец свободен — $u_{x} = 0$ , вертикальной силы нет, условие Неймана; конец на упругом креплении — $- T u_{x} = k u$ , третий род. Типологию краевых данных ведет граничные условия, а к стартовым данным — форме $φ (x)$ и скорости $ψ (x)$ — объяснение, почему их ровно две, даёт материал начальные условия. Гитара читается из формул мгновенно: частоты $f_{n} = na / (2 L)$ , перетянул колок — изменил $a$ . Полная постановка с границами и стартом — смешанная задача: смешанная задача, разбор — в уроке волновое уравнение, сводка формул — в шпаргалке формулы УЧП.

ρ u_{tt} = T u_{xx} \Rightarrow u_{tt} = a^{2} u_{xx}, a^{2} = \frac{T}{ρ}; - T u_{x} (0, t) = k u (0, t)

вывод: разность проекций натяжения разгоняет элемент dx; справа — упругое закрепление конца, условие третьего рода, промежуточное между жёсткой заделкой и свободным торцом

u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x)

полная постановка для струны длины L: жёсткая заделка обоих концов плюс два стартовых данных — смешанная задача, которую метод Фурье раскладывает по модам

Частые вопросы

Почему натяжение T считается постоянным вдоль струны?

Потому что колебания малы. Элемент струны почти прямой: проекция натяжения на ось равна $T cos α$ с $cos α \approx 1$ при малых наклонах, поэтому горизонтальная равнодействующая на элемент нулевая, и натяжение не перетекает от точки к точке. Вертикальные проекции $T sin α \approx T u_{x}$ при этом различаются на концах элемента — именно их разность и даёт ускорение. При больших прогибах оба приближения падают, и уравнение становится нелинейным.

Чем уравнение колебаний струны отличается от волнового уравнения?

Ничем по форме — это одномерное волновое уравнение $u_{tt} = a^{2} u_{xx}$ . Разница в акценте: «колебания струны» — имя вывода и постановки (второй закон Ньютона, натяжение и плотность, конкретные закрепления концов), а «волновое уравнение» — имя семейства: те же уравнения описывают звук в трёхмерном объёме и электромагнитную волну, где никаких струн нет. В экзаменационной задаче «вывести уравнение колебаний струны» ждут именно баланс сил на элементе $d x$ .