🌐 Матфизика

Волновое уравнение

Q: Чем волновое уравнение отличается от уравнения теплопроводности?

Порядком по времени: у волны вторая производная $u_{tt}$, у тепла первая $u_t$. Поэтому волна — колебание: она гоняет энергию туда-сюда и бесконечно помнит начальную форму, а тепло монотонно выравнивает температуру и детали стирает. Типы уравнений кодируют это заранее: волновое — гиперболическое, теплопроводности — параболическое, и задачи для них ставятся по-разному.

англ. Wave equation

Гиперболическое УЧП $u_{tt} = a^2 u_{xx}$: описывает колебания струн, звук и электромагнитные волны; волны бегут, не затухая.

Волновое уравнение $u_{tt} = a^{2} u_{xx}$ — гиперболическое УЧП, описывающее колебания струны, звук, электромагнитные волны. Для струны его выводит второй закон Ньютона: малый элемент длиной $d x$ получает вертикальное ускорение от разности натяжений на концах, и при плотности $ρ$ и натяжении $T$ выходит $ρ u_{tt} = T u_{xx}$ , то есть $a^{2} = T / ρ$ . Вторая производная по времени отличает волны от тепла: инерция гоняет энергию туда и обратно, и колебания не затухают сами по себе.

На бесконечной струне решение даёт формула Даламбера: начальный профиль $φ (x)$ распадается на две бегущие волны — вправо и влево со скоростью $a$ , без искажений формы. На конечной струне с закреплёнными концами работает метод Фурье: выживают лишь моды $sin (π n x / L)$ , и струна гудит на частотах $f_{n} = na / (2 L)$ . Оба вывода разобраны в уроке волновое уравнение, бегущие волны и характеристики — в материале метод характеристик.

u (x, t) = \frac{φ ( x - a t ) + φ ( x + a t )}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (s) d s

формула Даламбера: решение задачи Коши для бесконечной струны по начальной форме

φ

и начальной скорости

ψ

Частые вопросы

Чем волновое уравнение отличается от уравнения теплопроводности?

Порядком по времени: у волны вторая производная $u_{tt}$ , у тепла первая $u_{t}$ . Поэтому волна — колебание: она гоняет энергию туда-сюда и бесконечно помнит начальную форму, а тепло монотонно выравнивает температуру и детали стирает. Типы уравнений кодируют это заранее: волновое — гиперболическое, теплопроводности — параболическое, и задачи для них ставятся по-разному.

Что показывает скорость $a$ в уравнении?

Это скорость распространения возмущения: за время $t$ влияние начальных данных добирается не дальше, чем на расстояние $a t$ , — о событиях вне отрезка $[x - a t, x + a t]$ точка $x$ пока не знает. Для струны $a = T / ρ$ : сильнее натяжение — волна быстрее, тяжелее струна — медленнее. Именно поэтому подстройка колков меняет строй гитары.

Частые вопросы

Чем волновое уравнение отличается от уравнения теплопроводности?

Что показывает скорость a в уравнении?

Что показывает скорость $a$ в уравнении?