Уравнения в частных производных: классификация и канонический вид

Струна рояля после удара молоточка дрожит и звучит, нагретый с одного конца стержень медленно выравнивает температуру, электрическое поле вокруг неподвижного заряда стоит на месте годами. Три процесса описываются уравнениями, которые различаются буквально парой знаков при вторых производных. Этой пары знаков хватает, чтобы один процесс колебался, второй необратимо затухал, а третий не зависел от времени вообще. Сейчас вы научитесь читать эти знаки по коэффициентам — и предсказывать поведение решения, ещё не начав его искать.

Что такое УЧП и что считать его решением#

Уравнение в частных производных (УЧП) связывает неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные. Простейший вид: $F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},\dots )=0$. Порядок уравнения — порядок старшей входящей в него производной: если самое глубокое, что дифференцируют, — это $u_{xy}$, уравнение второго порядка. Частные производные считаются по правилам из урока про частные производные и градиент, а сам термин расписан в словаре: частная производная.

Решение — функция, которая при подстановке обращает уравнение в тождество на всей области. Здесь прячется главное отличие от обычных дифференциальных уравнений: в общем решении УЧП живут не произвольные константы, а произвольные функции. Возьмём $u_x=0$. Производная по $x$ равна нулю — значит, $u$ от $x$ не зависит: $u=f(y)$, где $f$ — любая функция. В ОДУ $y^{\prime }=0$ ответ жёсткий — константа; здесь свобода целого семейства кривых.

Пример на второй порядок: $u_{xy}=0$. Интегрируем по $y$: $u_x=F(x)$ — от $y$ зависеть уже нельзя. Интегрируем по $x$: $u=f(x)+g(y)$. Проверка: $u_x=f^{\prime }(x)$, а $u_{xy}=0$ — тождество. Итог: уравнение второго порядка прячет в общем решении две произвольные функции, ровно как ОДУ второго порядка прячет две константы. Это не случайность, а отражение природы уравнения.

Физика этим пользуется буквально: волна на струне описывается решением $u=f(x-at)+g(x+at)$ — двумя произвольными функциями, «правой» и «левой» бегущей волной. К этой формуле мы вернёмся в конце урока, а пока — инструмент, которым её получают.

Линейное уравнение второго порядка: главная часть#

Курс математической физики крутится вокруг одного шаблона — линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными $x$, $y$:

Линейность означает: $u$ и все её производные входят в первой степени, никаких $u^2$, $u_x{u}_y$ или $\sin u$. Если же при старших производных встают коэффициенты, зависящие от самого решения, уравнение зовут квазилинейным. При $G\equiv 0$ уравнение называется однородным. Расшифруем каждый символ: $u_{xx}$ и $u_{yy}$ — вторые производные по одной переменной, $u_{xy}$ — смешанная, $u_x$, $u_y$ — первые. Коэффициент при смешанной производной записан как $2B$ — двойка ставится намеренно, чтобы дискриминант имел симметричный вид.

Тип уравнения определяется только главной частью — старшими членами $A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}$. Младшие $D{u}_x+E{u}_y+Fu$ на тип не влияют совсем, как степень многочлена не зависит от свободного члена. Поэтому в классификации смотрят только на тройку $A$, $B$, $C$.

Как различить три типа уравнений?#

Аналогия старая и работающая: главная часть $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2$ — это в точности квадратичная форма из аналитической геометрии, где по знаку того же выражения различают эллипс, параболу и гиперболу — см. кривые второго порядка. Для УЧП действуют те же три имени — это и есть классификация УЧП второго порядка, и различает их дискриминант:

Потренируем на числах. $u_{xx}-4u_{yy}=0$: здесь $A=1$, $B=0$, $C=-4$, значит $\Delta =0-1\cdot (-4)=4>0$ — гиперболическое. $u_{xx}+2u_{xy}+2u_{yy}=0$: коэффициент при смешанной производной равен двум, поэтому $2B=2$, то есть $B=1$; $\Delta =1-1\cdot 2=-1<0$ — эллиптическое. $u_{xx}-6u_{xy}+9u_{yy}=0$: $2B=-6$, $B=-3$, $C=9$, $\Delta =9-9=0$ — параболическое.

Почему классификация диктует постановку задачи?#

Тип — не ярлык для каталога, а прямое указание, какие данные нужны, чтобы задача имела решение. Гиперболическое уравнение описывает распространение с конечной скоростью: возмущение из точки добирается до соседних не сразу. Ему отвечает задача Коши — два начальных условия $u(x,0)=\phi (x)$ и $u_t(x,0)=\psi (x)$: струне задают форму и скорость, дальше она живёт сама. Для ОДУ близкий сюжет разобран в уроке про задачу Коши для ДУ высших порядков.

Параболическое уравнение — необратимое выравнивание: разница температур гаснет, назад время не отматывается. Одного начального условия мало — нужно ещё поведение на границе стержня, поэтому ставят смешанную задачу: $u(x,0)=\phi (x)$ плюс граничные условия на концах. Пара начальных условий здесь не просто лишняя — задача с ними неустойчива.

Эллиптическое уравнение про равновесие: времени в нём нет вообще, задавать «начальный момент» бессмысленно. Ставят краевую задачу — значения функции (условие Дирихле) или её нормальной производной (условие Неймана) на всей границе области. Куда тепло уходит через края сковороды, настолько и распределится температура внутри.

Отсюда практическое правило, экономящее часы на семинарах: сначала посчитайте $\Delta$, потом читайте условие задачи. Если вам дают эллиптическое уравнение с начальными условиями — либо опечатка, либо ловушка: такого устойчивого решения в общем случае не существует — нарушено требование корректности по Адамару.

Как привести уравнение к каноническому виду?#

Каноническая форма — это замена переменных $\xi =\xi (x,y)$, $\eta =\eta (x,y)$, после которой в главной части остаётся единственная вторая производная (или одна смешанная). Направления замены подсказывают характеристики — кривые, вдоль которых решение переносится; техника их отыскания и решения вдоль них — отдельный метод характеристик. Их находят из уравнения

1. 1
   Выписать $A$, $B$, $C$ и проверить $\Delta =B^2-AC$ — какой тип, тот и план.
2. 2
   Решить уравнение характеристик: для гиперболического получатся два семейства кривых ${\phi }_1(x,y)=C_1$ и ${\phi }_2(x,y)=C_2$.
3. 3
   Положить $\xi ={\phi }_1(x,y)$, $\eta ={\phi }_2(x,y)$ и пересчитать производные по цепному правилу.
4. 4
   Записать уравнение в новых переменных — главная часть упростится до $U_{\xi \eta }$ (гиперболический), $U_{\eta \eta }$ (параболический) или $U_{\xi \xi }+U_{\eta \eta }$ (эллиптический).
5. 5
   Решать уже каноническое уравнение — оно выглядит на порядок проще.

Полный пример — уравнение $u_{xx}-u_{yy}=0$. Здесь $A=1$, $B=0$, $C=-1$, $\Delta =1>0$: гиперболическое. Уравнение характеристик: $(dy{)}^2-(dx{)}^2=0$, то есть $dy=\pm dx$. Интегрируем: $x+y=C_1$ и $x-y=C_2$. Берём новые переменные $\xi =x+y$, $\eta =x-y$.

Пересчёт производных по цепному правилу: $u_x=U_{\xi }+U_{\eta }$, $u_y=U_{\xi }-U_{\eta }$. Дифференцируем ещё раз: $u_{xx}=U_{\xi \xi }+2U_{\xi \eta }+U_{\eta \eta }$, $u_{yy}=U_{\xi \xi }-2U_{\xi \eta }+U_{\eta \eta }$. Разность даёт $u_{xx}-u_{yy}=4U_{\xi \eta }$, и уравнение превращается в

Интегрируем $U_{\xi \eta }=0$ так же, как $u_{xy}=0$ в начале урока: $U=f(\xi )+g(\eta )$. Возвращаясь к старым переменным: $u=f(x+y)+g(x-y)$ — знаменитая формула Даламбера. Смешанные производные исчезли, потому что $\xi$ и $\eta$ мы взяли вдоль характеристик: по каждой из них решение просто переносится, не «перемешиваясь».

• Порядок УЧП — старшая производная; решение второго порядка несёт две произвольные функции, первого — одну
• Тип определяется только главной частью: считаем $\Delta =B^2-AC$ и ничего больше
• $\Delta >0$ — волны и задача Коши, $\Delta =0$ — тепло и смешанная задача, $\Delta <0$ — Лаплас и краевая задача
• В записи $2B{u}_{xy}$ двойка принадлежит записи: коэффициент при смешанной производной делите на два
• Характеристики диктуют замену переменных; вдоль них решение переносится без искажений

Следующий логичный шаг — научиться решать гиперболические уравнения вдоль характеристик: это метод характеристик, прямой потомок выкладок из этого урока. Волновое уравнение с физической стороны разобрано отдельно: волновое уравнение и колебания струны. Параболический и эллиптический цеха живут в соседних уроках — уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа.