Гиперболическое уравнение

Дёрните за конец длинной верёвки: горб побежит вправо с определённой скоростью и не размажется по всей длине мгновенно. Так ведёт себя решение гиперболического уравнения — типа УЧП второго порядка, при котором возмущения распространяются с конечной скоростью по двум семействам характеристик. Критерий по коэффициентам при вторых производных: дискриминант $B^2-AC>0$. Флагман класса — волновое уравнение $u_{tt}=a^2{u}_{xx}$, у которого $A=1$, $B=0$, $C=-a^2$; сюда же — звук, свет, сейсмика, колебания мембран.

Решение в точке $(x,t)$ опирается только на начальные данные внутри отрезка $[x-at,x+at]$ — области зависимости: что происходит снаружи, точка пока не знает. Данные переносятся вдоль характеристик $x\pm at=\text{const}$, и на бесконечной прямой формула Даламбера выписывает ответ безо всяких рядов. Гладкость решения равна гладкости данных: ничего не приглаживается, удар молотка бежит по струне ударом. Бегущие волны и характеристики — в уроке метод характеристик, колебания струны — в материале волновое уравнение.