ДУ высших порядков: типы, понижение порядка, задача Коши

Второй закон Ньютона $ma=F$ — уравнение второго порядка: ускорение есть вторая производная координаты. Вот почему ДУ высших порядков — не экзотика, а рабочая лошадь механики: качели, мосты, пружины, орбиты. У первого порядка было одно начальное условие; у второго их станет два — как положение, так и скорость. Посмотрим, как устроен этот мир.

Общее решение и задача Коши: что меняется с порядком#

Общее решение уравнения $n$-го порядка — семейство функций с $n$ произвольными постоянными: $y=y(x,C_1,\dots ,C_n)$. Каждое интегрирование добавляет константу — как и при обычном интегрировании, где после $\int fdx$ появляется $+C$. Логика та же, только интегрирований больше.

Соответственно, задача Коши для уравнения второго порядка задаёт два начальных условия: значение функции и значение первой производной в одной точке —

Физический перевод безошибочный: «где тело и с какой скоростью оно стартовало». Двух чисел достаточно, чтобы предсказать всё будущее движение пружинки (при известной силе). Теорема существования и единственности здесь тоже работает: непрерывность $f$ и её частных производных по $y$ и $y^{\prime }$ в окрестности начальных данных гарантирует ровно одно решение.

Тип 1: правая часть зависит только от x#

Уравнение $y^{(n)}=f(x)$ решается лобовым интегрированием $n$ раз подряд, и на каждом шаге всплывает своя константа. Это самый честный тип: интегралы из первой части курса.

1. 1
   Первое интегрирование: $y^{\prime \prime }=\int 24xdx=12x^2+C_1$
2. 2
   Второе: $y^{\prime }=\int (12x^2+C_1)dx=4x^3+C_{1}x+C_2$
3. 3
   Третье: $y=\int (4x^3+C_{1}x+C_2)dx=x^4+\frac{C_1}{2}{x}^2+C_{2}x+C_3$
4. 4
   Итог: общее решение $y=x^4+\frac{C_1}{2}{x}^2+C_{2}x+C_3$ — ровно три константы, как и положено уравнению третьего порядка

Проверка мгновенная: трижды продифференцируйте $x^4$ — получите $24x$. Всё честно.

1. 1
   Интегрируем: $y^{\prime }=3x^2+C_1$
2. 2
   Второе начальное условие $y^{\prime }(0)=2$ подключается уже здесь: $2=0+C_1$, то есть $C_1=2$
3. 3
   Интегрируем дальше: $y=x^3+2x+C_2$
4. 4
   Первое условие $y(0)=1$: $1=0+0+C_2$, то есть $C_2=1$
5. 5
   Ответ: $y=x^3+2x+1$. Совет: подставляйте начальные условия по ходу интегрирования, а не в самом конце — алгебра остаётся мелкой

Тип 2: уравнение не содержит y — замена p = y'#

Уравнение вида $F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$ не видит саму функцию $y$, только её производную. Значит, производную можно сделать главной героиней: обозначим $p(x)=y^{\prime }(x)$. Тогда $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$, и уравнение падает на порядок — из второго становится первым для $p$. Решили его, нашли $p$, а дальше одна механическая интеграция: $y=\int pdx+C$.

1. 1
   Замена $p=y^{\prime }$ даёт $x{p}^{\prime }=p$ — уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
2. 2
   Разделяем: $\frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}$ (при $p\ne 0$), интегрируем: $\ln |p|=\ln |x|+\ln C_1$, то есть $p=C_{1}x$
3. 3
   Возвращаемся к $y$: $y^{\prime }=C_{1}x$, интегрируем — $y=\frac{C_1}{2}{x}^2+C_2$
4. 4
   Переобозначив константы, пишем аккуратный ответ: $y=C_1{x}^2+C_2$. Потерянное решение $p\equiv 0$ (прямые $y=\text{const}$) сидит здесь при $C_1=0$

Тип 3: уравнение не содержит x — p как функция от y#

Хитрее случай: $F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$. Замена $p=y^{\prime }$ по-прежнему напрашивается, но теперь $x$ отсутствует, и удобнее считать $p$ функцией не от $x$, а от $y$: $p=p(y)$. По правилу цепочки вторая производная превращается в

Эта формула — сердце всего типа. Уравнение второго порядка снова становится первым, но уже для $p(y)$. Приём встречается в задачах о движении, где сила зависит от координаты: удобнее спрашивать «скорость как функция положения», а не «скорость как функция времени».

1. 1
   Подстановка $p=p(y)$, $y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$ даёт $yp\frac{dp}{dy}=p^2$
2. 2
   При $p\ne 0$ делим на $p$: $y\frac{dp}{dy}=p$ — разделяющиеся переменные
3. 3
   $\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}$, интегрируем: $\ln |p|=\ln |y|+\ln C$, то есть $p=Cy$
4. 4
   Вспоминаем, что $p=y^{\prime }$: получаем $\frac{dy}{y}=Cdx$, откуда $\ln |y|=Cx+C_1$
5. 5
   Ответ: $y=C_1{e}^{Cx}$. Семейство показательных функций плюс потерянное решение $y=\text{const}$ (при $C_1=0$)

Пример из физики: свободное падение как задача Коши

Тело бросают вниз с высоты 20 м со скоростью 3 м/с. Уравнение движения $y^{\prime \prime }=-g$ (ось вверх, $g=9,8$ м/с²) — второй порядок, тип «правая часть зависит только от $t$». Два интегрирования подряд дают

1. 1
   Первое условие $y(0)=20$: подставляем $t=0$, остаётся $h_0=20$
2. 2
   Второе $y^{\prime }(0)=-3$: производная $y^{\prime }=-gt+v_0$, значит $v_0=-3$ (минус — тело брошено вниз)
3. 3
   Итог: $y(t)=-4,9t^2-3t+20$
4. 4
   Момент приземления: решаем $4,9t^2+3t-20=0$, положительный корень $t=\frac{-3+\sqrt{9+392}}{9,8}\approx 1,75$ с
5. 5
   Скорость удара: $y^{\prime }(1,75)\approx -20,1$ м/с — без начального толчка было бы $-19,8$

Обратите внимание, как физика подсказывает тип уравнения. Сила зависела только от времени — сработал тип 1, двойное интегрирование. Добавь сопротивление воздуха $-k{y}^{\prime }$ — справа появится $y^{\prime }$, но не $y$: это тип 2, и замена $p=y^{\prime }$ превратит задачу в линейное уравнение первого порядка из урока про линейные ДУ. Сила зависит от координаты — пружина, маятник, — открывается тип 3 с заменой $p(y)$. Три типа понижения порядка — это, по сути, классификация физических сил.

• Нет $y$ — $p(x)=y^{\prime }$, вторая производная $p^{\prime }$: сила зависит от времени
• Нет $x$ — $p(y)=y^{\prime }$, вторая производная $pdp/dy$: сила зависит от координаты
• Нет ничего ($y^{\prime \prime }=f(x)$) — интегрируем $n$ раз, по константе на интегрирование
• Число начальных условий всегда равно порядку: два для $y^{\prime \prime }$

К слову о втором начальном условии: не всякая задача про второй порядок формулируется как задача Коши. Бывают краевые условия — требования к решению на разных концах отрезка, например $y(0)=0$ и $y(1)=0$ для струны, закреплённой на двух концах. Констант по-прежнему две, но подставлять их придётся одновременно: вместо двух последовательных подстановок — система двух уравнений. В нелинейных задачах краевая постановка может иметь ноль или два решения, тогда как задачу Коши единственностью охраняет теорема Пикара.

Мини-пример краевой задачи: $y^{\prime \prime }=6x$ с условиями $y(0)=0$ и $y(1)=3$. Общее решение $y=x^3+C_{1}x+C_2$. Условие слева даёт $C_2=0$; условие справа: $1+C_1=3$, то есть $C_1=2$. Ответ $y=x^3+2x$ — обе константы найдены с двух концов отрезка, и ни одна точка не была «начальной» в смысле задачи Коши.

• Задача Коши: все условия в одной точке — решение строится «вперёд» по переменной
• Краевая задача: условия на разных концах — константы ищутся из системы одновременно
• Краевая задача может не иметь решений или иметь несколько — это нормально для неё
• Число условий в обеих постановках равно порядку уравнения

Понижение порядка — приём разовый: он требует специального вида уравнения. А что делать с главным типом второго порядка — линейными уравнениями вроде $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$, которые описывают колебания? Для них существует полноценная теория с характеристическим уравнением — следующий урок именно про это. Перед ним полезно освежить в памяти, что такое производная и как дифференцируются экспоненты — вся механика там построена на них.