Решение квадратного уравнения через дискриминант

Квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ встречается везде: в задачах на движение, в геометрии, внутри других формул. Универсальный ключ к нему один — дискриминант, число, которое по трём коэффициентам сразу говорит, сколько у уравнения корней. Ниже формула, вывод через полный квадрат, три случая, разбор примеров и короткая версия для чётного $b$. Конкретное уравнение за вас посчитает решатель квадратных уравнений, а здесь соберём технику руками.

Идея метода одной строкой#

Знак $D$ решает судьбу уравнения. Положительный — под корнем настоящее число, корней два и они разные. Ноль — формула вырождается в одно значение $x=-\frac{b}{2a}$: парабола касается оси вершиной. Отрицательный — квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не живёт, корней нет. Сводка для запоминания:

Слово «дискриминант» идёт от латинского discriminare — «различать»: один знак различает три судьбы одного и того же уравнения. Само значение $D$ не так интересно, как его знак; исключение — задачи, где корни считаются именно через $\sqrt{D}$, и там величина дискриминанта работает на полную.

Откуда берётся формула: выделение полного квадрата#

Формула корней не свалилась с неба — она выжимается из уравнения алгеброй. Разделим $a{x}^2+bx+c=0$ на $a$, дополним левую часть до полного квадрата и перенесём лишнее вправо:

Извлекаем корень из обеих частей — и $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ выпадает само. Полезно помнить этот вывод по двум причинам. Первая: он показывает, что знак $D$ — это знак правой части, откуда и количество корней. Вторая: при $D=0$ корень один, потому что «минус ноль» и «плюс ноль» — одно число, а не два разных.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Приведите уравнение к виду $a{x}^2+bx+c=0$: перенесите всё в левую часть, раскройте скобки, приведите подобные.
2. 2
   Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ со знаками. Слагаемое отсутствует — его коэффициент нулевой.
3. 3
   Посчитайте дискриминант $D=b^2-4ac$. Следите за знаками: минус на минус в произведении $4ac$ даёт плюс.
4. 4
   Определите случай: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — действительных корней нет.
5. 5
   Найдите корни по формуле и проверьте их по Виета: сумма обязана дать $-\frac{b}{a}$, произведение — $\frac{c}{a}$.

Разбор флагманского примера#

Решаем $2x^2-5x+2=0$. Здесь $a=2$, $b=-5$, $c=2$, поэтому $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$ и $\sqrt{D}=3$. Корни: $x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$, то есть $x_1=2$ и $x_2=\frac{1}{2}$.

Проверка без подстановки: сумма $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}=-\frac{b}{a}$, произведение $2\cdot \frac{1}{2}=1=\frac{c}{a}$. Обе связки сошлись — корни верные. Такая проверка занимает десять секунд и ловит почти любую арифметику.

Случай D < 0: не пугаемся, а фиксируем#

Возьмём $x^2+2x+5=0$. Дискриминант $D=4-20=-16$. В школе на этом решение заканчивается: «действительных корней нет». Проверьте себя вопросом — а что говорит график? Парабола $y=x^2+2x+5$ имеет вершину в точке $x=-1$, значение там $y=4>0$, ветви вверх — до оси $x$ она не дотягивается. График и алгебра сказали одно и то же, значит, ответ надёжный.

В высшей математике история продолжается: корни существуют, но комплексные, $x=-1\pm 2i$, и формула та же, только под корнем извлекается $i\sqrt{16}$. Пока вы в действительных числах, правильная запись ответа — «корней нет», а не попытка вытянуть корень из минуса.

Чётный коэффициент: короткая формула с b/2#

Если $b$ чётное, арифметику можно облегчить. Обозначим $k=\frac{b}{2}$; тогда корни считаются через половинный дискриминант:

Пример: $5x^2+14x-3=0$. Здесь $k=7$, $D_1=49+15=64$, $\sqrt{D_1}=8$, и $x=\frac{-7\pm 8}{5}$, то есть $x_1=\frac{1}{5}$, $x_2=-3$. Полный дискриминант дал бы $D=196+60=256=16^2$ — тот же результат, но с числами вдвое крупнее. Знаменатель при этом теряет двойку, что на экзамене заметно бережёт силы.

Три типовые ошибки#

• Потерять знак $b$. В формуле стоит $-b$: если $b=-5$, то $-b=5$. Классическая потеря балла на контрольной.
• Забыть двойку в знаменателе. Делить нужно на $2a$, а не на $a$ — даже когда кажется, что двойка «уже учтена» в дискриминанте.
• Считать $D<0$ собственной ошибкой. Отрицательный дискриминант — нормальный ответ: «действительных корней нет». На графике это парабола, не дотягивающаяся до оси.