Неполные квадратные уравнения

Если в $a{x}^2+bx+c=0$ один из коэффициентов — ноль, дискриминант можно не трогать: неполные уравнения решаются быстрее элементарными приёмами. Промах здесь обычно не в арифметике, а в потерянном корне — чаще всего нуле. Разберём все три вида, у каждого своя схема. Конкретное уравнение за вас посчитает решатель квадратных уравнений, а здесь — техника руками.

Идея метода одной строкой#

Произведение равно нулю, когда ноль у одного из множителей, — на этом стоит вся схема с вынесением $x$. Изоляция квадрата опирается на то, что число и его противоположность дают одинаковый квадрат: если $x^2=9$, то годятся и $3$, и $-3$. Отсюда и главный источник ошибок — забытый знак минус.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Определите вид: какой из коэффициентов $b$ или $c$ нулевой (или оба — тогда $a{x}^2=0$).
2. 2
   Для $a{x}^2+bx=0$ вынесите $x$ за скобку и приравняйте каждый множитель к нулю.
3. 3
   Для $a{x}^2+c=0$ изолируйте $x^2=-\frac{c}{a}$ и проверьте знак правой части: плюс — два корня, минус — действительных корней нет.
4. 4
   Выпишите все корни, включая ноль, и подставьте каждый в исходное уравнение.

ax² = 0: самый короткий случай#

Уравнение $4x^2=0$ после деления на $4$ оставляет $x^2=0$, то есть $x=0$. Кажется, что решать нечего, — и именно здесь происходит самая тихая ошибка: студенты, решая систему или дробное уравнение, выбрасывают этот корень из ответа. Запомните: $x=0$ — полноценный корень кратности два, парабола $y=a{x}^2$ касается оси ровно в начале координат.

ax² + bx = 0: ноль — тоже корень#

$5x^2+3x=0$. Выносим: $x(5x+3)=0$. Первый множитель обнуляется при $x=0$, второй — при $x=-\frac{3}{5}$. Ответ: $0$ и $-\frac{3}{5}$. Проверка нуля подстановкой: $5\cdot 0+3\cdot 0=0$ — честный корень, который чаще всего и теряют. Правило жёсткое: выносим за скобку, а не сокращаем — сокращение на $x$ выбрасывает решение.

Графически всё прозрачно: $y=a{x}^2+bx$ — парабола, проходящая через начало координат (свободного члена нет), поэтому $x=0$ обязан быть корнем. Второй корень — вторая точка пересечения с осью.

ax² + c = 0: всё решает знак#

$2x^2-8=0$: изолируем $x^2=4$, корни $\pm 2$. Меняем знак свободного члена: $2x^2+8=0$ даёт $x^2=-4$ — в действительных числах пусто, пишем «корней нет». Знак может прятаться и в $a$: $-x^2+9=0$ переписывается как $x^2=9$ с корнями $\pm 3$. Перед извлечением корня доводите правую часть до положительного числа или фиксируйте отсутствие корней — третьего не дано.

Сверка с дискриминантом: ничего не потеряно#

Скептики могут проверить схемы полным методом. Для $a{x}^2+bx=0$ дискриминант равен $b^2$, корни $\frac{-b\pm |b|}{2a}$ — при любом раскладе один из них ноль, второй $-\frac{b}{a}$. Для $a{x}^2+c=0$ дискриминант $-4ac$, и его знак ровно повторяет знак $-\frac{c}{a}$. Схемы не новый метод, а ускоренный маршрут по той же формуле — поэтому и безопасные.

Три типовые ошибки#

• Потерять нулевой корень, сократив обе части на $x$. Деление на $x$ выбрасывает решение $x=0$ — выносите за скобку, а не сокращайте.
• Записать только положительный корень: из $x^2=16$ выходят $4$ и $-4$. Знак «$\pm$» забывать нельзя.
• Искать корни дальше у $x^2+5=0$. Если после изоляции квадрата справа минус — решение закончено, корней нет.