Смешанная задача (краевая)

У стержня есть и прошлое, и стенки: в нулевой момент известна температура по всей длине, а торцы всё время держат ноль или обдуваются воздухом. Одна постановка собирает оба типа данных — такова смешанная задача: для эволюционного УЧП задаются начальный профиль в момент $t=0$ и поведение на границе для всех $t$. Название честное — условия двух родов смешаны; именно такие задачи отвечают реальным процессам, у всякой конечной установки есть и старт, и края.

Основной инструмент — метод разделения переменных: краевые условия рождают задачу Штурма — Лиувилля и набор собственных функций, начальные данные раскладываются по ним в ряд. Для тепла каждая мода гаснет экспоненциально, для струны — колеблется. Корректность смешанных задач для волн, тепла и Лапласа доказана классически. Полная техника — в уроке метод разделения переменных, разбор мод для стержня — в материале уравнение теплопроводности, типология условий — в термине краевая задача.