🌐 Матфизика

Формула Даламбера

англ. d'Alembert formula

Явное решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой: начальный профиль расщепляется на две половинки, бегущие со скоростью a, плюс вклад начальной скорости.

Формула Даламбера решает задачу Коши для волнового уравнения $u_{tt} = a^{2} u_{xx}$ на бесконечной прямой: по начальной форме $φ (x)$ и начальной скорости $ψ (x)$ она выписывает решение безо всяких рядов. Постановку задачи см. в задаче Коши для УЧП.

u (x, t) = \frac{φ ( x - a t ) + φ ( x + a t )}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (s) d s

профиль расщепляется на две половинки, бегущие влево и вправо со скоростью

a

; интеграл добавляет вклад начальной скорости

Смысл — бегущие волны. При $ψ = 0$ и $φ = sin x$ решение $sin x cos t$ : картинка стоит и качается. Постоянная начальная скорость $ψ = 1$ даёт $u = t$ — вся струна равномерно всплывает. Геометрия распространения и характеристический угол — в терминах область влияния; живой разбор — в уроке волновое уравнение.

Частые вопросы

Почему в формуле Даламбера два слагаемых?

Потому что уравнение второго порядка по времени: данные — форма и скорость, и каждая отвечает за свою часть. Первое слагаемое раскатывает начальный профиль в две бегущие половинки, второе размазывает начальную скорость по области между характеристиками $x \pm a t$ . Складывать законно — уравнение линейно.

Подходит ли формула Даламбера уравнению теплопроводности?

Нет. У тепла первый порядок по времени и бесконечная скорость распространения: решение — свёртка с гауссовым ядром, а не сумма бегущих половинок. Формула Даламбера опирается на характеристики $x \pm a t = const$ , которых у параболического уравнения нет, — там всё решает ядро тепла.