🌐 Матфизика

Задача Коши для уравнения теплопроводности

англ. Cauchy problem for the heat equation

Бесконечный стержень без границ: одно начальное условие u(x,0) = φ(x) и явная формула Пуассона со свёрткой с гауссовым ядром; решение мгновенно сглаживается, а назад время не поворачивается.

Стержень длиной в километр: торцы так далеко, что за время эксперимента краевые эффекты не доедут. Границ нет — есть только начальный профиль $u (x, 0) = φ (x)$ на всей оси; это задача Коши для уравнения теплопроводности $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ . Одного условия хватает: уравнение первого порядка по времени, и логика числа данных разобрана в материале задача Коши для УЧП. Ответ выписывается явно — формула Пуассона: начальный профиль сворачивается с гауссовым ядром, широкая шапка с площадью единица, которая с течением времени становится ниже и шире. Ядро — та самая дельта-функция-последовательность: при $t \to 0^{+}$ оно сжимается в пик, и решение прилипает к начальным данным.

У формулы три следствия, которые любят проверять. Сглаживание: свёртка с гауссовой шапкой бесконечно дифференцируема при любом $t > 0$ , даже если стартовый профиль был ступенькой — тепло стирает углы с первого мгновения. Скорость: ядро положительно на всей оси, влияние формально мгновенно — контраст с волной и её конечной скоростью принципиален. Обратимость: наоборот, нет — задача восстановления начального профиля по позднему решению некорректна, высокие частоты пришлось бы усиливать экспоненциально, и это территория корректность по Адамару. Единственность и оценки даёт принцип максимума: решение между минимумом и максимумом начальных данных, но на бесконечной прямой нужен контроль роста — при слишком бешеном росте решение теряет единственность. Механика формулы через преобразование Фурье — в материале интеграл Фурье и уроке преобразование Фурье для УЧП, задачник — в уроке уравнение теплопроводности.

u_{t} = a^{2} u_{xx}, x \in R, t > 0; u (x, t) = \frac{1}{2 a π t} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{( x - s ) ^{2}}{4 a ^{2} t}} φ (s) d s

формула Пуассона: начальный профиль сворачивается с гауссовым ядром единичной массы; ширина шапки растёт как a·√t, высота падает как 1/√t

u (λ, t) = e^{- a^{2} λ^{2} t} φ (λ)

та же формула в спектре: каждая пространственная частота гаснет своей экспонентой, высокие — мгновенно; отсюда и сглаживание, и необратимость времени

Единственность требует класса роста

На ограниченном отрезке принцип максимума гарантирует единственность бесплатно. На всей оси — нет: без ограничений на рост решение задачи Коши неединственно, и Тихонов построил ненулевое решение с нулевыми начальными данными, растущее быстрее

e^{A x^{2}}

. Рабочий договор: искать решения ограниченные или растущие не быстрее

e^{A x^{2}}

— в этом классе задача корректна. Всегда уточняйте класс, прежде чем говорить «решение единственно».

Частые вопросы

Чем задача Коши для тепла отличается от задачи Коши для волны?

Числом данных и характером эволюции. Волне нужны начальная форма и скорость — уравнение второго порядка по времени, и решение помнит оба данные вечно: формула Даламбера переносит их без потерь, волна распространяется с конечной скоростью. Теплу хватит одного профиля, зато эволюция необратима: свёртка с гауссовым ядром мгновенно сглаживает данные и размывает информацию, влияние достигает всей оси сразу. Одна производная по времени против двух, сглаживание против переноса — два полюса эволюционных задач.

Почему начальный профиль восстанавливать нельзя, а вперёд считать можно?

Вперёд ядро гасит высокие частоты: образ гауссовой шапки — экспонента $e^{- a^{2} λ^{2} t}$ , и любой шум подавляется с ростом $t$ . Назад эту экспоненту пришлось бы делить: шумы усиливаются как $e^{a^{2} λ^{2} ∣ t ∣}$ , и сколь угодно малая погрешность измерения уничтожает ответ. Малым возмущениям данных соответствуют большие возмущения решений — нарушена устойчивость, третий пункт корректности по Адамару. Поэтому остывание считается, а реконструкция вчерашней температуры по сегодняшней — некорректная задача, требующая регуляризации.