🌐 Матфизика

Дельта-функция Дирака

англ. Dirac delta function

Обобщённая функция, изображающая точечный источник: ноль всюду, кроме одной точки, с единичным интегралом; действует на пробную функцию извлечением её значения в точке.

Молоток ударил по гвоздю: сила действовала мгновение, а след остался. Дельта-функция Дирака $δ (x)$ — математический портрет такого мгновенного точечного воздействия: она равна нулю всюду, кроме одной точки, а её интеграл по любой окрестности этой точки равен единице. Классической функцией такой объект быть не может — «обычных» значений у него нет, поэтому определяют честнее: дельта-функция — линейный функционал, который пробной функции $φ$ ставит в соответствие её значение в нуле: $⟨ δ, φ ⟩ = φ (0)$ . Сдвинутая версия $δ (x - ξ)$ «смотрит» в точку $ξ$ . Фильтрующее свойство $\int f (x) δ (x - ξ) d x = f (ξ)$ превращает её в сканер: интегрирование с ядром $δ$ извлекает значение функции ровно в одной точке.

В уравнениях математической физики дельта-функция играет роль точечного источника: печка бесконечно малого размера, точечный заряд, удар по струне. Отклик линейной задачи на такое воздействие — фундаментальное решение, а из него сборкой собирается ответ для произвольной правой части — свёрткой с плотностью источника. Эта схема — сердце теории функции Грина; устройство откликов разобрано в материале фундаментальное решение, а применение к неоднородным задачам — в уроке неоднородные задачи и метод Фурье. Две дополнительные сцены: дельта-функция является производной ступеньки Хевисайда, а её образ Фурье равен единице — мгновенная вспышка содержит все частоты поровну; непрерывный спектр обсуждается в материале преобразование Фурье.

δ (x) = 0 при x \neq = 0, \int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1, \int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - ξ) d x = f (ξ)

определение и фильтрующее свойство: обычных значений у дельта-функции нет, но её действие на любую функцию выдаёт ровно одно число

Частые вопросы

Дельта-функция — это настоящая функция?

Нет. Не существует обычной функции, равной нулю всюду, кроме одной точки, и при этом имеющей единичный интеграл: на множестве меры ноль классический интеграл не видит ничего. Дельта-функция — обобщённая функция, распределение, определённое своим действием на гладкие пробные функции. Аппарат этот не экзотика: он же нужен, чтобы дифференцировать разрывные профили и записывать точечные источники.

Зачем дельта-функция в уравнениях математической физики?

Она позволяет ставить задачи с точечным воздействием: удар по струне, мгновенный точечный нагрев, заряд нулевого размера. Отклик на дельта-функцию — функция Грина задачи; зная её, решение для любой нагрузки получается интегрированием. Так физическая интуиция «сначала разберись с одной точкой» становится вычислительным приёмом, который работает для тепла, волн и электростатики.