🌐 Матфизика

Функция Грина

Q: Какими свойствами обладает функция Грина?

Симметрией: отклик в точке $x$ на источник в $\xi$ равен отклику в $\xi$ на источник в $x$. У задачи с второй производной ядро непрерывно, а производная несёт скачок ровно на единицу — отпечаток дельта-функции в правой части. Из этих двух фактов и собирается вся вычислительная техника вокруг ядра.

англ. Green's function

Отклик линейной задачи на точечный источник (дельта-функцию); интегрирование ядра G(x, ξ) с плотностью правой части даёт решение для любой нагрузки.

Функция Грина — отклик системы на точечный источник. Вместо того чтобы решать уравнение заново для каждой правой части, находят ответ на один вопрос: что будет, если в точке $ξ$ сидит дельта-функция? Полученное ядро $G (x, ξ)$ собирает решение для любой нагрузки интегрированием.

y (x) = \int_{0}^{1} G (x, ξ) f (ξ) d ξ

вся правая часть учтена одним интегралом: точечный отклик

G

умножается на плотность

f

и суммируется по источникам

Для краевой задачи $y^{''} = f$ , $y (0) = y (1) = 0$ ядро выписывается явно, и при $f \equiv 1$ интеграл даёт $y = x (x - 1) /2$ : в середине $- 0, 125$ — ровно то, что даёт прямая проверка. В электростатике ту же роль играет потенциал точечного заряда: образец, из которого собирается любое распределение. Построение для УЧП — отдельная техника, см. функция Грина для УЧП и фундаментальное решение.

Частые вопросы

Где ещё работает идея функции Грина?

Везде, где есть линейность и точечный отклик: краевые задачи для ОДУ, электростатика, теория рассеяния, спектральная теория. Линейность разрешает суперпозицию, а точечный источник — универсальный кирпичик: сложи отклики на единичные импульсы с плотностью $f$ — получишь ответ для любой правой части.

Какими свойствами обладает функция Грина?

Симметрией: отклик в точке $x$ на источник в $ξ$ равен отклику в $ξ$ на источник в $x$ . У задачи с второй производной ядро непрерывно, а производная несёт скачок ровно на единицу — отпечаток дельта-функции в правой части. Из этих двух фактов и собирается вся вычислительная техника вокруг ядра.