🌐 Матфизика

Функция Грина для УЧП

Q: Как метод отражений строит функцию Грина для полуплоскости?

К реальному источнику в точке $M_0$ добавляется фиктивный заряд в зеркальной точке с противоположным знаком. Вдоль самой границы расстояния до обоих источников равны, вклады сокращаются, и граничные значения выходят нулевыми. Функция Грина получается логарифмом отношения расстояний — формула выписывается в одну строку. В круге тот же приём даёт инверсную точку, только с коэффициентом, подобранным по радиусу.

англ. Green's function for a PDE

Решение уравнения с точечным источником и нулевой границей: зная функцию Грина, решение уравнения Пуассона с любой правой частью собирается одной свёрткой.

Капните краску в бассейн с впитывающими стенками: пятно расползается от одной точки и гаснет у краёв. Это отклик на точечный выброс — функция Грина $G (M, M_{0})$ : решение уравнения Пуассона с правой частью-дельтой в точке $M_{0}$ и нулевыми значениями на границе. Ценность в суперпозиции: любая плотность источников — просто набор точечных выбросов, и ответ собирается свёрткой, интегралом от функции Грина по всей области.

Функция Грина симметрична: отклик в $M$ на источник в $M_{0}$ равен отклику в $M_{0}$ на источник в $M$ . Строится она из фундаментального решения плюс гармоническая поправка, гасящая граничные значения; для полуплоскости поправка — зеркальный заряд, и получается явный логарифм. В круге функция Грина равносильна интегралу Пуассона — два взгляда на одно решение. Связка с точечным откликом — в материале фундаментальное решение, разбор неоднородных постановок — в уроке неоднородные задачи и метод Фурье.

Δ_{M} G (M, M_{0}) = - δ (M - M_{0}), G_{\partial Ω} = 0, u (M) = \iint_{Ω} G (M, M_{0}) f (M_{0}) d M_{0}

определение функции Грина и главный выигрыш: отклик на точечный источник с нулевой границей; свёртка с плотностью источников даёт решение уравнения Пуассона сразу во всей области

Частые вопросы

Как метод отражений строит функцию Грина для полуплоскости?

К реальному источнику в точке $M_{0}$ добавляется фиктивный заряд в зеркальной точке с противоположным знаком. Вдоль самой границы расстояния до обоих источников равны, вклады сокращаются, и граничные значения выходят нулевыми. Функция Грина получается логарифмом отношения расстояний — формула выписывается в одну строку. В круге тот же приём даёт инверсную точку, только с коэффициентом, подобранным по радиусу.

Чем функция Грина отличается от фундаментального решения?

Границей. Фундаментальное решение — отклик на дельту в бесконечном пространстве, без всяких стенок: для лапласиана это $1/ (4 π r)$ . Функция Грина — фундаментальное решение плюс гармоническая поправка, которая принудительно зануляет значения на границе области. В бесконечном пространстве они совпадают, в ограниченной области — нет. Вся разница ровно в поправке, и именно она делает формулу свёртки пригодной для реальных задач.