🌐 Матфизика

Задача Штурма–Лиувилля

англ. Sturm–Liouville problem

Краевая задача −(p·y′)′ + q·y = λ·w·y с однородными условиями на концах: ненулевые решения существуют только при дискретном наборе λ — собственных значениях; фундамент, на котором стоит метод Фурье.

Подберите натяжение так, чтобы струна гудела сама: подходящих натяжений не бесконечность, а счётный список. Задача Штурма–Лиувилля — это ровно такой поиск: $- (p (x) y^{'})^{'} + q (x) y = λ w (x) y$ на отрезке $[a, b]$ с однородными условиями на концах, например $y (a) = y (b) = 0$ . При произвольном $λ$ ненулевых решений нет — однородная задача с однородными краями умеет отвечать только нулём. Но при особых $λ$ — собственных значениях — появляются ненулевые решения, собственные функции. Спектр получается дискретным не потому, что так захотелось, а потому что однородные края согласуют синусоиду только при правильных длинах волн.

Эталон: $- X^{''} = λ X$ на $[0, L]$ . При $X (0) = X (L) = 0$ выживают $λ_{n} = (\frac{π n}{L})^{2}$ с $X_{n} = sin \frac{π n x}{L}$ ; свободные концы $X^{'} (0) = X^{'} (L) = 0$ дают косинусы с нулевой модой $λ_{0} = 0$ ; периодические условия — полный набор синусов и косинусов, знакомый по ряду Фурье. Три факта держат весь метод Фурье: собственные значения вещественны и идут по возрастанию к бесконечности, собственные функции ортогональны с весом $w (x)$ , а система полна — разложению посвящены ортогональность собственных функций и полнота системы собственных функций. Быстрая прикидка первого $λ$ — отношение Рэлея: интеграл энергии к интегралу нормы. Полная теория — в уроке Штурм–Лиувилль и собственные функции, конвейер применения — в материале метод разделения переменных для УЧП.

- (p y^{'})^{'} + q y = λ w y, y (a) = y (b) = 0; - X^{''} = λ X, X (0) = X (L) = 0 \Rightarrow λ_{n} = \frac{π ^{2} n ^{2}}{L ^{2}}, X_{n} = sin \frac{π n x}{L}

регулярная задача Штурма-Лиувилля и эталонный спектр: однородные края оставляют только волны, у которых на отрезке укладывается целое число полуволн

λ_{1} = y \neq = 0 min \frac{\int _{a}^{b} ( p y ^{'2} + q y ^{2} ) d x}{\int _{a}^{b} w y ^{2} d x}

отношение Рэлея: первое собственное значение — минимум энергии на единицу нормы; любая пробная функция даёт оценку сверху, а удачная — почти точный ответ

Однородность условий — не украшение

Спектр рождается только у однородных условий: сдвиньте закрепление, задав

X (0) = 1

, — и решение появится при любом

λ

, а задачи на собственные значения больше нет. Поэтому перед разделением переменных неоднородные края сначала снимают подстановкой; механика приёма разобрана в материале однородные граничные условия. Второй капкан — вес: ортогональность бывает с весом

w (x)

, например

r d r

у функций Бесселя в круге; забытый вес портит все коэффициенты разложения.

Частые вопросы

Почему собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественные?

Потому что оператор задачи самосопряжён при вещественных $p$ , $q$ , $w$ и корректных краях: для двух решений $y$ и $z$ интегрирование по частям даёт равенство $⟨ L y, z ⟩ = ⟨ y, L z ⟩$ . Подставляя $z = \overset{y}{ˉ}$ , получаем $λ ∥ y ∥^{2} = \overset{ˉ}{λ} ∥ y ∥^{2}$ , откуда $λ = \overset{ˉ}{λ}$ — число вещественно. Комплексный спектр означал бы рост или затухание в замкнутой системе, что противоречит сохранению энергии.

Что меняется в круге по сравнению с отрезком?

Геометрия добавляет вес и новые специальные функции. Разделение переменных в полярных координатах даёт радиальную задачу Бесселя — регулярную задачу Штурма–Лиувилля, чьи собственные функции $J_{0}$ с нулем на границе круга ортогональны с весом $r$ : интегрирование идёт по площади, а элемент площади несёт множитель $r d r$ . Спектр снова дискретный и растёт к бесконечности, но нули Бесселя не образуют арифметическую прогрессию — поэтому барабан звучит иначе, чем струна.