🌐 Матфизика

Ортогональность собственных функций

англ. Orthogonality of eigenfunctions

Собственные функции самосопряжённой краевой задачи с разными собственными значениями ортогональны (при необходимости — с весом) на отрезке; это ключ, который расщепляет коэффициенты метода Фурье.

Две функции ортогональны, если их скалярное произведение — интеграл произведения — равно нулю: $\int_{0}^{L} X_{n} (x) X_{m} (x) d x = 0$ при $n \neq = m$ . Для собственных функций самосопряжённой краевой задачи это не случайность, а теорема: функции с разными собственными значениями всегда ортогональны. Доказательство занимает две строки интегрирования по частям: уравнения для $X_{n}$ и $X_{m}$ вычитаются, слагаемые с лапласианом сокращаются, а граничные члены гасятся благодаря краевым условиям — Дирихле, Нейману или Робену. Для условий третьего рода ортогональность берётся с весом. Смысл тот же, что у перпендикулярных векторов: собственные функции — прямоугольные оси в бесконечномерном пространстве решений.

Практическая ценность огромна: при разложении начальных данных по собственным функциям коэффициенты вычисляются порознь, каждый сам за себя. Умножили равенство $f = \sum c_{n} X_{n}$ на $X_{m}$ , проинтегрировали — все слагаемые, кроме одного, обнулились, и $c_{m}$ извлекается делением на квадрат нормы. Для синусов $X_{n} = sin (π n x / L)$ нормы равны $L /2$ , и получается классическая формула коэффициентов ряда Фурье. Без ортогональности пришлось бы каждый раз решать систему линейных уравнений для всех коэффициентов сразу. База — в терминах собственные функции краевой задачи, расчёт спектра — в курсе Штурм — Лиувилль и собственные функции, формула коэффициентов — в материале ряд Фурье, сборка решения — в уроке метод разделения переменных.

\int_{0}^{L} X_{n} X_{m} d x = 0 (n \neq = m), c_{m} = \frac{\int _{0}^{L} f X _{m} d x}{\int _{0}^{L} X _{m}^{2} d x}

ортогональность и формула коэффициента: каждый коэффициент разложения вычисляется независимо от остальных

Частые вопросы

Что такое ортогональность с весом?

Иногда естественный скалярный продукт содержит весовую функцию: $\int ρ (x) X_{n} X_{m} d x = 0$ . Так бывает у задач Штурма — Лиувилля, где коэффициент при производной не константа: вес выравнивает оператор к самосопряжённому виду. Геометрически это та же перпендикулярность, только длины мерятся в деформированной шкале; в формуле коэффициентов появляется вес под интегралами.

Зачем ортогональность методу Фурье?

Метод Фурье сводит уравнение с частными производными к набору задач на собственные значения, а начальные данные раскладывает по найденным собственным функциям. Именно ортогональность позволяет найти каждый коэффициент одной формулой вместо системы уравнений. Затем моды эволюционируют независимо — для тепла экспоненциально затухают, для волны колеблются, — и их сумма даёт решение.