Задача Штурма–Лиувилля: собственные функции и разложения

Разложение начальной температуры по синусам — визитная карточка метода Фурье. Но синусы решают задачу только для однородного стержня, у которого по всей длине одинаковые свойства. Добавьте переменное сечение, слоистую структуру или неравномерно распределённую примесь — и синусы перестанут быть решениями краевой задачи. Выбрасывать метод целиком? Рано: у любой линейной краевой задачи второго порядка есть свой «набор синусов» — собственные функции задачи Штурма–Лиувилля. Выживает почти вся картина: ортогональность, разложения, экспоненциальное затухание мод. Меняется только список базисных функций.

Постановка: уравнение и краевые условия#

Общая задача Штурма–Лиувилля выглядит так: на отрезке $[a,b]$ ищем ненулевые решения уравнения

которые вдобавок удовлетворяют краевым условиям на концах: ${\alpha }_{1}X(a)+{\alpha }_2{X}^{\prime }(a)=0$ и ${\beta }_{1}X(b)+{\beta }_2{X}^{\prime }(b)=0$, где коэффициенты в каждой паре не обнуляются одновременно. Расшифруем роли. Функция $p(x)$ — «жёсткость»: теплопроводность или натяжение, способность среды передавать возмущение. Функция $q(x)$ — потенциал: локальная добавка, мешающая или помогающая колебаниям. Функция $w(x)>0$ — вес, распределение массы вдоль оси. Число $\lambda$ — пока неизвестный параметр, который сам подбирается из задачи.

Уравнение линейное второго порядка, и при произвольном $\lambda$ у него есть бесконечно много решений — но ни одно не пройдёт через оба краевых условия. Подойдут лишь редкие значения $\lambda$; их называют собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Тривиальное решение $X\equiv 0$ есть всегда, поэтому фраза «ищем ненулевые» — не перестраховка, а суть постановки. Терминология пришла из линейной алгебры не случайно: см. собственные значения и векторы матриц — здесь тот же механизм, только оператор дифференциальный, а его «матрица» бесконечномерна.

Задача называется регулярной, если на всём отрезке $p>0$, $w>0$, $q\ge 0$, все коэффициенты непрерывны, а краевые условия отделяют концы друг от друга. Регулярность гарантирует весь список свойств ниже. Пример регулярной задачи: $p=w=1$, $q=0$, $X(0)=X(L)=0$ — в ответе выйдет знакомый набор синусов. Пример нерегулярной: $p(0)=0$ — особенность на конце, и часть гарантий может исчезнуть; с такими задачами работают отдельно.

Сравните постановку с задачей Коши из курса дифференциальных уравнений. Там начальные условия фиксируют единственное решение при любом $\lambda$: уравнение интересно всегда. Краевые условия работают иначе — при произвольном $\lambda$ решений нет вовсе, при собственном возникает одномерное семейство с точностью до множителя. Именно эта избирательность делает задачу спектральной: уравнение само отбирает допустимые частоты, и этот отбор — не дефект, а источник всей полезности.

Четыре свойства спектра, которые решают всё#

У регулярной задачи Штурма–Лиувилля спектр ведёт себя безупречно. Вот четыре факта, на которых держится весь метод Фурье:

1. Все собственные значения вещественны: оператор задачи самосопряжён, как симметричная матрица, — комплексных $\lambda$ не бывает.
2. Собственные значения упорядочены и просты: ${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3<\cdots$, каждое встречается ровно один раз (с точностью до множителя у собственной функции), и ${\lambda }_n\to +\infty$.
3. Рост квадратичный: для отрезка ${\lambda }_n=(\pi n/L{)}^2$ точно, для общих $p$ и $w$ — та же асимптотика $\sim n^2$ с поправкой на коэффициенты.
4. Собственные функции ортогональны с весом: ${\int }_a^{b}w(x)X_m(x)X_n(x)dx=0$ при $m\ne n$.

Ортогональность собственных функций — центральный факт, и её доказательство умещается в пять щелчков. Идея стандартная для самосопряжённых операторов: взять два уравнения с разными $\lambda$, скрестить их и проинтегрировать по частям. Внеинтегральный член гасится краевыми условиями — это ключевой ход, ради которого условия и писались в симметричной форме.

Проверим утверждение на базовом примере: ${\int }_0^{\pi }\sin (mx)\sin (nx)dx=0$ при $m\ne n$ и $\pi /2$ при $m=n$. Возьмите $m=1$, $n=2$: через произведение в сумму ${\int }_0^{\pi }\sin x\sin 2xdx={\int }_0^{\pi }2{\sin }^{2}x\cos xdx={\left[\frac{2}{3}{\sin }^{3}x\right]}_0^{\pi }=0$. Норма же $\Vert X_n{\Vert }^2={\int }_a^{b}w{X}_n^{2}dx$ при ортогональности никогда не нулевая — она играет роль знаменателя в формулах разложения.

Разложение по собственным функциям#

Собственные функции образуют ортогональный базис, и произвольную разумную функцию $f$ можно разложить по нему — точно так же, как вектор раскладывается по базису в линейной алгебре. Коэффициенты выводятся одним движением: умножаем разложение на $w{X}_m$, интегрируем — все слагаемые, кроме $m$-го, гасятся ортогональностью:

Подставьте $p=w=1$, $q=0$, $X_n=\sin (\pi nx/L)$ — и формула даст классические коэффициенты ряда Фурье. Штурм и Лиувилль — обобщение Фурье на произвольные коэффициенты, а не какая-то новая механика. Сходимость тут понимается в среднем квадратичном: частичные суммы приближают $f$ по интегральной норме с весом $w$, а в точках непрерывности $f$ сходятся и поточечно.

Практическая мелочь, экономящая полстраницы выкладок: для базового отрезка норма синуса ${\int }_0^L{\sin }^2(\pi nx/L)dx=L/2$, поэтому формула коэффициентов сокращается до $c_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L\phi (x)\sin \frac{\pi nx}{L}dx$. Проверьте на $\phi =1$: интеграл синуса по полупериоду даёт $2L/(\pi n)$ для нечётных $n$ и ноль для чётных — постоянная температура раскладывается по нечётным синусам с коэффициентами $4/(\pi n)$, ровно как в таблице разложений.

Числовой пример: разложим $\phi (x)=x$ на отрезке $[0,\pi ]$ по синусам. Знаменатель равен $\pi /2$, числитель ${\int }_0^{\pi }x\sin (nx)dx=-\pi \cos (n\pi )/n+[\sin (nx)/n^2{]}_0^{\pi }=-\pi (-1{)}^n/n$ — второе слагаемое нулевое на обоих концах. Итого $c_n=\frac{2}{\pi }\cdot \left(-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}\right)=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$. Первые коэффициенты: $c_1=2$, $c_2=-1$, $c_3=2/3\approx 0,667$, $c_4=-0,5$. Частичные суммы рисуют пилу, и чем больше членов, тем точнее — классическая картинка из урока про ряды Фурье.

Классические примеры: отрезок и круг#

Как в круге появляются функции Бесселя? Разделение переменных в полярных координатах даёт для радиальной части $r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }+(\lambda r^2-n^2)R=0$ — уравнение Бесселя порядка $n$. Его решения $J_n$ похожи на затухающие синусоиды: колебания с медленно падающей амплитудой. Собственными значениями служат квадраты нулей функции: для $n=0$ это примерно $2,405$, $5,520$, $8,654$ — промежутки между нулями быстро стабилизируются около $\pi$. Первый нуль ${\mu }_1\approx 2,405$ задаёт основную моду мембраны барабана: центр дрожит, узловая окружность стоит на границе. За всем этим стоит уравнение Гельмгольца — спектральный портрет установившихся гармонических колебаний мембраны. Ортогональность сохраняется, но с весом $rdr$ — тот самый след полярного якобиана. Разбирать Бесселя глубоко не обязательно: достаточно понимать, что это «синусы цилиндра», подчиняющиеся той же схеме; именно на них держится спектр цилиндрических волн — расходящихся кругов от капли на воде.

Почему метод Фурье работает для любых $p$ и $q$#

Схема метода разделения переменных для уравнения $u_t=a^2{u}_{xx}$ с переменными коэффициентами не меняется ни на шаг. Ищем $u=T(t)X(x)$; координатная часть превращается в задачу Штурма–Лиувилля и выдаёт список ${\lambda }_n$ и $X_n(x)$ — каким бы сложным ни был спектр. Временная часть остаётся тривиальной: $T^{\prime }=-a^2{\lambda }_{n}T$, решение $e^{-a^2{\lambda }_{n}t}$. Каждая мода живёт своей экспонентой и не общается с соседями.

Начальное условие раскладывается по собственным функциям с коэффициентами $c_n$ — ортогональность с весом делает расчёт механическим. Ответ: $u(x,t)=\sum c_n{X}_n(x)e^{-a^2{\lambda }_{n}t}$. Различие с однородным стержнем — только в списках ${\lambda }_n$ и формах $X_n$; выводы о затухании сохраняются, потому что все ${\lambda }_n>0$ при $q\ge 0$ и условиях первого рода. При изоляции появится нулевое собственное значение с постоянной собственной функцией — и средняя температура станет храниться в члене ${\lambda }_1=0$. Читать физику из спектра — главный навык всей темы: спектр — это паспорт процесса.

Наглядный пример: стержень из склёпанных меди и стали. Коэффициент $a^2$ скачет на спае в разы, и ни один чистый синус не решает такую задачу. Задача Штурма–Лиувилля с кусочно-постоянным $p$ и условиями сопряжения на стыке (температура и поток непрерывны) выдаёт собственные функции, склеенные из синусов с разными длинами волн по обе стороны спая. Спектр остаётся вещественным и дискретным, затухание мод — экспоненциальным: метод Фурье пережил смену материала без единой правки логики, сменился только список базисных функций.

Следующий шаг — прогнать всю технику руками: решите до конца задачу с изолированными концами. Найдите собственные функции $\cos (\pi nx/L)$, проверьте их ортогональность прямым интегрированием, разложите $\phi (x)=100$ и выпишите решение с экспонентами. Это пятнадцать минут бумаги и самый надёжный способ закрепить тему. После этого логично взглянуть на преобразование Фурье для УЧП — оно делает для бесконечного стержня то же самое, что Штурм и Лиувилль делают для отрезка, только спектр там сплошной.