🌐 Матфизика

Уравнение Гельмгольца

Q: Как из волнового уравнения получается уравнение Гельмгольца?

Ищем установившиеся гармонические колебания: подставляем $u(x,t) = v(x)e^{-i\omega t}$ в волновое уравнение и сокращаем общий множитель $e^{-i\omega t}$. Времени в уравнении больше нет — остаётся задача для пространственной амплитуды $v$ с параметром $k = \omega/c$. Приём называют разделением по времени: спектр частот получается из спектра волновых чисел умножением на скорость волны.

англ. Helmholtz equation

Стационарный собрат волнового уравнения: $\Delta u + k^2 u = 0$ — уравнение на пространственную амплитуду установившихся гармонических колебаний; описывает резонаторы, волноводы и дифракцию.

Заставьте струну или мембрану колебаться по гармоническому закону: $u (x, t) = v (x) e^{- iω t}$ . Подстановка в волновое уравнение выносит время за скобки, и для пространственной амплитуды $v$ остаётся уравнение Гельмгольца $Δ v + k^{2} v = 0$ , где $k = ω / c$ — волновое число. Это спектральный портрет задачи о колебаниях: не каждое $k$ допустимо, а лишь те, при которых существуют ненулевые решения с данными краевыми условиями. При $k = 0$ уравнение вырождается в уравнение Лапласа; при $k > 0$ решения обязаны осциллировать, потому что знак при $k^{2}$ противоположен знаку при лапласиане в статике. Сам оператор — знакомый оператор Лапласа, применённый к амплитуде.

На прямоугольной мембране разделение переменных даёт собственные частоты $ω_{mn} = c π m^{2} / a^{2} + n^{2} / b^{2}$ — это ноты, на которых резонирует барабан; в круге вместо синусов появляются функции Бесселя. Для неограниченных областей добавляют условие излучения: волна обязана уходить от источника на бесконечность, а не приходить из неё — без этого решения о рассеянии теряют единственность. Постановки на границе те же, что в статике: значения амплитуды или потока; однородные условия превращают задачу в спектральную. Разбор расщепления координат — в уроке метод разделения переменных, переход от волны к её спектру — в материале волновое уравнение, сравнение со статикой — в терминах задача Дирихле.

Δ v + k^{2} v = 0, ω_{mn} = c π \frac{m ^{2}}{a ^{2}} + \frac{n ^{2}}{b ^{2}}

уравнение Гельмгольца и собственные частоты прямоугольной мембраны со сторонами a и b: допустимые волновые числа задают ноты резонатора

Частые вопросы

Как из волнового уравнения получается уравнение Гельмгольца?

Ищем установившиеся гармонические колебания: подставляем $u (x, t) = v (x) e^{- iω t}$ в волновое уравнение и сокращаем общий множитель $e^{- iω t}$ . Времени в уравнении больше нет — остаётся задача для пространственной амплитуды $v$ с параметром $k = ω / c$ . Приём называют разделением по времени: спектр частот получается из спектра волновых чисел умножением на скорость волны.

Почему барабан звучит не так, как струна той же длины?

Потому что собственные числа различны: у струны спектр арифметический, $k_{n} = π n / L$ , а у мембраны частоты пропорциональны $m^{2} + n^{2}$ — их квадраты не ложатся в одну прогрессию. Ноты мембраны не образуют даже октавы, поэтому звучание кажется глухим. Всё это — следствия вида уравнения Гельмгольца в разных координатах.