🌐 Матфизика

Цилиндрические волны

англ. Cylindrical waves

Радиальные волны на плоскости — от мембраны или длинной линии источников: разделение переменных выводит на функции Бесселя, амплитуда вдали падает как 1/√r, а после фронта тянется хвост.

Капните на воду: круги расходятся по плоскости. Это цилиндрические волны — решения двумерного волнового уравнения, зависящие только от радиуса: $u (r, t)$ . Лапласиан здесь равен $u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r}$ , и трюк со сдвигом на $r$ , работавший для сферических волн, уже не спасает: лишний член имеет другой коэффициент. Разделение переменных $u = R (r) T (t)$ разводит уравнение на время $T^{''} + ω^{2} T = 0$ и радиальную часть $R^{''} + \frac{1}{r} R^{'} + k^{2} R = 0$ — уравнение Бесселя нулевого порядка. Решения — функции Бесселя $J_{0} (k r)$ : затухающие осцилляции, похожие на синусоиду с медленно падающей амплитудой, — именно они играют роль синусов на круге.

Два отличия от трёхмерных волн стоит запомнить. Первое — затухание: фронт волны — окружность длиной $2 π r$ , плотность энергии падает как $1/ r$ , амплитуда — как $1/ r$ : медленнее сферической, но неотвратимо. Второе — хвост: в двумерном мире принцип Гюйгенса с резким задним фронтом не работает, и после прохода фронта решение ещё долго колеблется — рябь от капли не обрывается, а тянется. Ортогональность бесселевых функций с весом $r$ — прямое следствие теории задача Штурма–Лиувилля, веса обсуждаются в материале ортогональность собственных функций. Разделение переменных как приём — в уроке метод разделения переменных, стационарный спектр мембран — в уравнении Гельмгольца, а полная спектральная теория — в уроке Штурм–Лиувилль и собственные функции.

u_{tt} = a^{2} (u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r}) : R^{''} + \frac{1}{r} R^{'} + k^{2} R = 0 \Rightarrow R (r) = J_{0} (k r), ∣ u ∣ \sim \frac{1}{r} при r \to \infty

радиальные волны мембраны: радиальное уравнение — бесселево нулевого порядка, а вдали от источника амплитуда падает как 1/√r по закону сохранения энергии на растущей окружности

\int_{0}^{R} J_{0} (\frac{ξ _{n} r}{R}) J_{0} (\frac{ξ _{m} r}{R}) r d r = 0, n \neq = m

ортогональность бесселевых мод на круге радиуса R с весом r: ξ_n — нули функции J₀, а вес идёт от элемента площади r dr

Частые вопросы

Почему у цилиндрической волны есть хвост, а у сферической нет?

Из-за размерности. Трёхмерная волна от точечного импульса живёт ровно на фронте: формула Кирхгофа интегрирует данные только по сфере радиуса $a t$ . В двумерном случае решение собирается по всему кругу внутри фронта, и внутренние слои продолжают звучать после прохода фронта — цилиндрическую волну можно собрать из сферических с запаздыванием по времени (приём спуска Адамара), и эта сборка и порождает шлейф. Поэтому капля на воде качает круги долго, а хлопок в воздухе обрывается сразу.

Почему в радиальной задаче на плоскости появляются функции Бесселя?

Потому что разделение переменных в полярных координатах даёт радиальному уравнению член $R^{'} / r$ — следствие расхождения окружностей. Уравнение $R^{''} + R^{'} / r + k^{2} R = 0$ отличается от гармонического именно этим слагаемым, и его решения — функции Бесселя $J_{0} (k r)$ : осцилляции с амплитудой, медленно убывающей как $1/ k r$ . Это тоже задача Штурма-Лиувилля, но с весом $r$ : ортогональность меряется интегралом с $r d r$ , потому что элемент площади круга несёт якобиан $r$ .