🌐 Матфизика

Сферические волны

Q: Как замена v = r·u убирает лишний член в лапласиане?

Прямым дифференцированием: $v = r\,u$ даёт $v_r = u + r\,u_r$ и $v_{rr} = 2\,u_r + r\,u_{rr}$. Делим на $r$: $v_{rr}/r = u_{rr} + 2u_r/r$ — а это ровно радиальный лапласиан. Уравнение $u_{tt} = a^2(u_{rr} + 2u_r/r)$ превращается в $v_{tt} = a^2 v_{rr}$ умножением на $r$: слева $r\,u_{tt} = v_{tt}$. Дальше работает одномерная формула Даламбера, и ответ для $u$ получается делением на $r$.

англ. Spherical waves

Радиально симметричные волны от точечного источника: после замены v = r·u трёхмерное волновое уравнение превращается в одномерное, и волна делит на r — амплитуда падает как 1/r.

Звук хлопка расходится шаром: на одинаковом расстоянии от источника волна одинакова, значит, решение зависит только от радиуса — $u (r, t)$ . Лапласиан в сферических координатах для такой зависимости упрощается до $Δ u = u_{r r} + \frac{2}{r} u_{r}$ , и лишний член портит одномерную структуру. Спасает трюк: пусть $v = r u$ . Тогда $v_{r r} = r Δ u$ , и сферические волны удовлетворяют одномерному волновому уравнению $v_{tt} = a^{2} v_{r r}$ — оператор Лапласа в трёх измерениях свернулся к обычной второй производной. Общее решение выписывается по Даламберу: $u = \frac{F ( r - a t ) + G ( r + a t )}{r}$ — волны бегут по радиусу, поделившись на $r$ .

Множитель $1/ r$ — не прихоть, а экономия энергии: фронт волны — сфера площади $4 π r^{2}$ , и чтобы энергия не рождалась из ничего, плотность обязана падать как $1/ r^{2}$ , а амплитуда — как $1/ r$ . Второй урок формулы — причинность: решение обязано быть гладким при $r = 0$ , и это запрещает приходящую волну $G (r + a t)$ — сферический хлопок расходится наружу, а не возвращается. Поэтому трёхмерный сигнал звучит чётко, без хвоста — физика заднего фронта разобрана в материале принцип причинности. Стационарные режимы с гармоническим временем живут в уравнении Гельмгольца, где по $r$ осциллируют функции Бесселя. Волны в движении — в уроке волновое уравнение, база по постановкам — в уроке уравнения в частных производных.

u_{tt} = a^{2} Δ u, u = u (r, t) : Δ u = u_{r r} + \frac{2}{r} u_{r}; v = r u \Rightarrow v_{tt} = a^{2} v_{r r}, u (r, t) = \frac{F ( r - a t )}{r}

сведение сферически симметричной волны к одномерной: замена v = r·u убывает множитель 2/r, уходящая волна F(r − at)/r везёт энергию наружу с амплитудой, падающей как 1/r

4 π r^{2} \cdot ∣ u (r, t) ∣^{2} = const \Rightarrow ∣ u ∣ \propto \frac{1}{r}

сохранение потока энергии: мощность, пересекающая сферу любого радиуса, одна и та же, поэтому плотность падает как 1/r², а амплитуда — как 1/r

Частые вопросы

Почему амплитуда сферической волны убывает как 1/r?

Из-за сохранения энергии. Фронт волны — расширяющаяся сфера площади $4 π r^{2}$ ; энергия, раз покинувшая источник, распределяется по этой сфере без потерь. Плотность энергии падает как $1/ r^{2}$ , а амплитуда — как квадратный корень из неё, то есть как $1/ r$ . По той же логике плоская волна не затухает (площадь фронта постоянна), а цилиндрическая теряет амплитуду медленнее, как $1/ r$ , — у неё фронт растёт только по окружности.

Как замена v = r·u убирает лишний член в лапласиане?

Прямым дифференцированием: $v = r u$ даёт $v_{r} = u + r u_{r}$ и $v_{r r} = 2 u_{r} + r u_{r r}$ . Делим на $r$ : $v_{r r} / r = u_{r r} + 2 u_{r} / r$ — а это ровно радиальный лапласиан. Уравнение $u_{tt} = a^{2} (u_{r r} + 2 u_{r} / r)$ превращается в $v_{tt} = a^{2} v_{r r}$ умножением на $r$ : слева $r u_{tt} = v_{tt}$ . Дальше работает одномерная формула Даламбера, и ответ для $u$ получается делением на $r$ .