Волны и звук: длина волны, интерференция, эхо

Бросьте камень в пруд: круги побегут к берегу, а листок на воде так и будет качаться на месте. Волна переносит возмущение, но не переносит вещество — это, пожалуй, самое неожиданное утверждение сегодняшнего урока. Звук, свет (уже не механическая, но та же математика), сейсмика и Wi-Fi — всё это волны; начнём с самых наглядных, механических.

Что такое механическая волна#

Механическая волна — распространение колебаний в упругой среде. Каждая частица среды качается около своего положения равновесия, подталкивая соседей; колебательное состояние бежит по цепочке. Если тема гармоник для вас нова, начните с урока о механических колебаниях — волна это то же самое, размазанное по пространству. Для волны нужна среда с упругостью и инертностью — в вакууме звука нет, о чём каждый вспоминает в кино с космическими взрывами.

• Поперечная волна — частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения (верёвка, волны на воде)
• Продольная волна — частицы колеблются вдоль направления распространения, чередуя сгущения и разрежения (звук в воздухе)
• В твёрдых телах бывают обе; в жидкости и газе — только продольные

Три величины связывают волну воедино: скорость распространения $v$, период $T$ (или частота $\nu =1/T$) и длина волны $\lambda$ — расстояние, на которое волна убегает за один период. Отсюда главная формула темы:

Проверим на камертоне 440 Гц (нота «ля») в воздухе: $\lambda =\frac{340}{440}\approx 0.77$ м. А у самого высокого слышимого тона 20 кГц длина волны всего 17 мм. Частота — свойство источника, скорость — свойство среды, а длина волны получается их делением. Эта связка работает без исключений: сменили среду — изменилась скорость, а частота при переходе волны сохраняется.

Звук: продольная волна со скоростью 340 м/с#

Звук — продольная механическая волна в диапазоне частот примерно от 20 Гц до 20 кГц (слышимость человека). Ниже — инфразвук (сейсмические волны, ультразвуковые свистки слонов), выше — ультразвук (эхолот, летучие мыши, УЗИ). Скорость зависит от среды: в воздухе при 20 °C она около 340 м/с, в воде — около 1500 м/с, в стали — порядка 5000–6000 м/с. Чем жёстче связи между частицами, тем быстрее бежит возмущение.

Три характеристики звука с точки зрения физики. Высота — частота: чем чаще колебания, тем выше тон. Громкость — интенсивность, энергия через квадрат амплитуды; её меряют в децибелах: шёпот 30 дБ, разговор 60 дБ, концерт 100–110 дБ — уже на грани безопасного. Тембр — набор гармоник: одна и та же нота на скрипке и трубе содержит разные добавки к основному тону, и ухо их различает.

Задача про эхо. Кричим на гору, эхо вернулось через 0.5 с. Звук прошёл туда и обратно, значит до горы $s=\frac{340\cdot 0.5}{2}=85$ м. Это же число объясняет, почему в комнате эхо не слышно: отражения приходят через миллисекунды и сливаются с прямым звуком (различить эхо можно при задержке порядка 0.06 с и больше — то есть от стены дальше примерно 10 метров).

Интерференция: волны складываются#

Две волны в одной точке складываются по принципу суперпозиции: смещения прибавляются. Если гребень встречает гребень — амплитуда удваивается (интерференционный максимум), гребень встречает впадину — гасятся (минимум). Это не потеря энергии, а её перераспределение: в одних местах стало громче, в других тише.

Условие максимума: разность хода $\Delta r$ равна целому числу длин волн, $\Delta r=k\lambda$. Условие минимума — полуцелому: $\Delta r=(k+\frac{1}{2})\lambda$. Именно поэтому в зале некоторые кресла «глохнут» на низких частотах, а по воде от двух источников идут чёткие полосы спокойной воды.

Стоячие волны: как звучит струна#

Зафиксируем струну с двух концов и возбудим её. Отражённые волны интерферируют сами с собой, и при подходящих длинах возникает стоячая волна: одни точки (узлы) не движутся вовсе, другие (пучности) качаются с максимальной амплитудой. На закреплённой струне на концах обязаны быть узлы, значит на длине $L$ укладывается целое число полуволн:

Гитарная струна длиной 65 см: основная мода ($n=1$) имеет длину волны 1.3 м. При скорости волны в струне порядка 400 м/с получаем частоту около 308 Гц — как раз первая струна гитары. Зажимаете лады — укорачиваете $L$, частота растёт; натягиваете струну — растёт скорость $v$. Всё музыкальное устройство гитары выводится из одной формулы.

Математически бегущая волна — решение волнового уравнения, линейного дифференциального уравнения второго порядка. Стоячая волна получается сложением двух бегущих навстречу — их синусы складываются в произведение $\cos (\omega t)\sin (kx)$ с тригонометрическими преобразованиями: время и пространство расцепляются, и получается узор без движения фазы.

Таблица собрана из одной формулы $\lambda =v/\nu$: 340/680 = 0.5, 1500/680 ≈ 2.2, 5900/680 ≈ 8.7 м. Источник дрожит одинаково, а «шаг» волны в стали в семнадцать раз больше, чем в воздухе. На этом строится гидроакустика: подводный звук бежит вчетверо быстрее и несётся километры, поэтому эхолоты слышат дно на глубинах, где воздух бы уже всё рассеял.

Числовая мини-задача на интерференцию. Два динамика играют ноту 340 Гц — длина волны ровно метр. Слушатель стоит там, где разность хода равна 2.5 м: полуцелое число волн, минимум, звук заглох. Отойдите в сторону на полметра — разность хода станет 3 м, целое число: максимум. Один шаг меняет картину полностью, вот почему «мёртвые» места в залах такие узкие.

• Частота — паспорт источника, скорость — паспорт среды, длина волны — их отношение
• Максимум интерференции: разность хода равна целому числу $\lambda$; минимум — полуцелому
• Эхо различимо при задержке от 0.06 с — стена дальше 10 метров
• Стоячая волна: узлы не движутся, пучности качаются сильнее всех