Гидростатика и гидродинамика: давление и Бернулли

Стальной корабль весом в сто тысяч тонн плавает, а стальной болт камнем идёт ко дну. Дайвер на глубине десяти метров чувствует давление, как будто на него встал легковой автомобиль. А пилот объясняет подъём самолёта «разрежением над крылом» — и часто объясняет неточно. Вода и воздух подчиняются одними и теми же законам, и это последний большой блок классической механики.

Давление: сила, размазанная по площади#

Давление — отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади опоры:

Человек массой 60 кг на лыжах давит на снег с давлением около 15 кПа и скользит, а на каблуках — свыше 300 кПа и проваливается. Сила одна, распределение разное. Атмосферное давление на уровне моря в среднем $101.3$ кПа — это вес столба воздуха высотой в сотню километров над каждым квадратным метром, примерно 10 тонн.

Закон Паскаля: жидкости и газы передают оказываемое на них давление во все стороны одинаково. Отсюда гидравлический пресс: надавили поршнем площадью 10 см² с силой 100 Н, а большой поршень 500 см² выжимает 5000 Н — выигрыш в силе во столько, во сколько раз больше площадь. Тормоза автомобиля и «жевательная» резина автомастерских работают на этом законе.

Гидростатическое давление: глубина решает#

Внутри покоящейся жидкости давление растёт с глубиной. Столб жидкости высотой $h$ с площадью $S$ весит $\rho ghS$, делим на площадь — получаем гидростатическое давление:

Здесь $p_0$ — давление на поверхности (для открытой воды — атмосферное $101.3$ кПа), $\rho$ — плотность жидкости (для воды $1000$ кг/м³), $g=9.8$ м/с². Каждые 10 метров воды добавляют $\rho gh=1000\cdot 9.8\cdot 10=98$ кПа — почти ещё одну атмосферу. На глубине 10 м общее давление $p\approx 199$ кПа, вдвое больше поверхностного. Именно поэтому уши закладывает уже в бассейне.

Сила Архимеда: почему не тонет#

На тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила. Её происхождение чисто гидростатическое: давление снизу больше, чем сверху, разница и толкает вверх. Закон Архимеда:

Здесь $\rho$ — плотность жидкости, $V$ — объём погружённой части тела. Легенда про Архимеда и ванну — про это: вытеснил сколько — столько весит. Отсюда условие плавания: тело плавает, если его плотность меньше плотности жидкости; тонет, если больше.

Корабль не противоречит таблице: его средняя плотность вместе с воздушными отсеками меньше тысячи килограммов на кубометр. Подлодка, наоборот, меняет свою плотность, закачивая воду в балластные цистерны, — и умеет и плавать, и тонуть по приказу.

Гидродинамика: неразрывность и Бернулли#

Переходим к текущей жидкости. Два уравнения описывают стационарное течение идеальной (без вязкости) жидкости; реальные течения бывают ламинарными или турбулентными, границу между режимами меряет число Рейнольдса. Первое — уравнение неразрывности: что втекает, то и вытекает. Расход $Q=Sv$ сохраняется, поэтому в узком месте трубы поток ускоряется (а учёт трения между слоями жидкости приводит к уравнению Навье–Стокса):

Второе — уравнение Бернулли, следствие закона сохранения энергии для потока:

Каждое слагаемое — вид энергии на единицу объёма: $p$ — давление (работа сил давления), $\frac{\rho v^2}{2}$ — кинетическая энергия кубометра жидкости, $\rho gh$ — его потенциальная энергия в поле тяжести. Сумма постоянна вдоль линии тока; для целого потока реальной жидкости её уточняет уравнение Бернулли для потока. Читаем следствие: где скорость больше — там давление меньше. Это та часть, которую часто перевирают.

Числовой пример. Горизонтальная труба сужается с 4 см² до 1 см², начальная скорость воды 2 м/с. Из неразрывности $v_2=v_1\frac{S_1}{S_2}=2\cdot 4=8$ м/с. Перепад давления по Бернулли: $\Delta p=\frac{\rho (v_2^2-v_1^2)}{2}=\frac{1000\cdot (64-4)}{2}=30000$ Па = 30 кПа. Узкая часть трубы «высасывает» три десятых атмосферы — на этом работают водоструйные насосы и пульверизатор. Расход вязкой жидкости в круглой трубе при ламинарном режиме описывает течение Пуазейля.

На разности давлений стоит множество явлений: подъёмная сила крыла (суммарный эффект Бернулли и отклонения потока вниз по третьему закону Ньютона), «присасывание» душевой занавески, снос крыш при ураганах. И так же, как в других разделах, аккуратный вывод уравнения течения требует интегралов по сечению — добро пожаловать в статью об интеграле.

Гидравлический пресс: выигрыш в силе, но не в работе

1. 1
   Давим малым поршнем с силой 200 Н: давление $p=F/S=200/0.002=100000$ Па
2. 2
   По закону Паскаля это давление доходит до большого поршня без изменений
3. 3
   Сила на большом поршне: $F_2=p{S}_2=100000\cdot 0.04=4000$ Н — выигрыш в 20 раз
4. 4
   Но путь малый поршень проходит в 20 раз больше: сдвинуть большой на 1 см — опустить малый на 20 см
5. 5
   Работа: $200\cdot 0.2=40$ Дж на входе и $4000\cdot 0.01=40$ Дж на выходе — баланс сошёлся, чуда не случилось

Кстати, почему тормоза автомобиля гидравлические, а не механические? Жидкость передаёт давление одинаково во все стороны и не сжимается: усилие с педали доходит до всех четырёх колёс одинаково, а трубы можно гнуть как угодно. Зато резкая остановка потока в трубе рождает гидравлический удар — скачок давления, способный повредить магистраль. Воздух для этого не годится — он сжимаем, и педаль «проваливалась» бы. Пневматика берёт реванш в грузовиках, где важна не жёсткость, а запас мощности компрессора.

Приложение Бернулли, которое каждый день спасает самолёты, — трубка Пито. Трубка против потока ловит полное давление, заборник сбоку — статическое, а разность через $\frac{\rho v^2}{2}$ даёт скорость: при $\rho =1.2$ кг/м³ и разности 500 Па получаем $v=\sqrt{2\cdot 500/1.2}\approx 29$ м/с — около 104 км/ч. Знаменитые аварии из-за обледеневших трубок Пито — напоминание, насколько эта математика практична.

• Давление на глубине: $p=p_0+\rho gh$ — плюс одна атмосфера на каждые 10 м воды
• Архимед: сила равна весу вытесненного — плотность решает, плавать или тонуть
• Неразрывность: узкая труба — быстрая струя, расход $Sv$ сохраняется
• Бернулли: быстрее поток — ниже статическое давление в том же потоке