🍎 Механика

Течение Пуазейля

Q: Почему радиус стоит в формуле в четвёртой степени?

Сработали два множителя. Площадь сечения растёт как $R^2$, а средняя скорость ламинарного потока при том же градиенте давления — тоже как $R^2$, потому что трение тормозит у стенки, и чем шире труба, тем дальше от неё разгоняется ядро. Произведение двух квадратов даёт четвёртую степень: труба вдвое шире при том же давлении пропускает в шестнадцать раз больше, как и сосудистая сеть организма.

англ. Poiseuille flow

Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе под постоянным перепадом давления: расход пропорционален четвёртой степени радиуса и перепаду давления.

Система-капельница в палате отсчитывает капли неторопливо и ровно: тонкая трубка, скромный напор, предсказуемая струйка. За этой размерностью стоит течение Пуазейля — ламинарное движение вязкой жидкости в круглой трубе под постоянным перепадом давления. Французский физиолог искал формулу, изучая кровоток в сосудах, а она стала рабочей лошадкой вискозиметрии, капельниц, фильтров и микронасосов. Вся сила формулы — в радиусе: он решает всё, и вы сейчас увидите почему.

Расход задаёт формула $Q = \frac{π R ^{4} Δ p}{8 μL}$ . Возьмите воду, радиус $1$ мм и перепад $10$ кПа на метре длины — получится $3, 9$ мл/с. Удвойте радиус при том же давлении — расход подскочит в $16$ раз, поэтому волосковый налёт на стенках старой трубы душит поток катастрофически. Скорость по сечению распределена параболой, сопротивление растёт линейно со скоростью. Соседние режимы — в уроке гидростатика и гидродинамика, напорная арифметика — в термине уравнение Бернулли (гидродинамика), перенос импульса — в материале явления переноса.

Q = \frac{π R ^{4} Δ p}{8 μL}

формула Пуазейля: расход через круглую трубу пропорционален перепаду давления и четвёртой степени радиуса, обратно пропорционален вязкости и длине трубы

Частые вопросы

Почему радиус стоит в формуле в четвёртой степени?

Сработали два множителя. Площадь сечения растёт как $R^{2}$ , а средняя скорость ламинарного потока при том же градиенте давления — тоже как $R^{2}$ , потому что трение тормозит у стенки, и чем шире труба, тем дальше от неё разгоняется ядро. Произведение двух квадратов даёт четвёртую степень: труба вдвое шире при том же давлении пропускает в шестнадцать раз больше, как и сосудистая сеть организма.

Как измеряют вязкость по формуле Пуазейля?

Капиллярным вискозиметром. Через трубку известной длины и радиуса пропускают жидкость и меряют либо время истечения заданного объёма, либо расход при известном перепаде давления. Все величины, кроме $μ$ , известны — вязкость вычисляется подстановкой. Метод точен при ламинарном режиме. Чаще прибор калибруют по эталонной жидкости, сравнивая времена истечения, — относительная вязкость получается без измерения геометрии. Рабочие формулы — в шпаргалке формулы физики механика.