Теорема Штейнера

Ось сместилась — момент инерции с нуля пересчитывать не нужно. Теорема Штейнера связывает момент инерции вокруг произвольной оси с моментом вокруг параллельной оси через центр масс: прибавка равна $m{d}^2$, где d — расстояние между осями, m — масса. Смысл прозрачен: смещённая ось заставляет тело ещё и обтекать вокруг неё, добавляя вклад всей массы на плече d. Стержень массой 3 кг длиной 2 м вокруг центра даёт $I_c=\frac{1}{12}m{l}^2=1$ кг·м², а вокруг конца, где d = 1 м, — $1+3\cdot 1=4$ кг·м², рост вчетверо.

Отсюда мгновенно получаются табличные формулы: стержень вокруг конца — $\frac{1}{3}m{l}^2$, диск вокруг оси на ободе — $\frac{3}{2}m{R}^2$. Проверим диском: масса 1 кг, радиус 0,4 м, ось параллельна центральной и проходит через обод: $I=0,08+1\cdot 0,16=0,24$ кг·м². Два ограничения: оси обязаны быть параллельны, и одна из них проходит через центр масс — наклонить ось теорема не поможет. Физический маятник считается именно через неё — см. механические колебания, базовая вращательная динамика — в уроке вращательное движение.