🍎 Механика

Уравнение Бернулли (гидродинамика)

англ. Bernoulli's equation (fluid dynamics)

Для стационарного течения идеальной жидкости сумма давления, скоростного напора и высотного члена постоянна: сужение ускоряет поток и снижает давление.

Зажмите пальцем шланг — струя бьёт дальше, а в узком месте падает давление. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости связывает давление, скорость и высоту: сумма $p + \frac{ρ v ^{2}}{2} + ρ g h$ вдоль линии тока постоянна. Это закон сохранения энергии, поделённый на объём. Горизонтальная труба: в широком сечении скорость 2 м/с при давлении 150 кПа; в узком, втрое меньшем, жидкость ускоряется до 6 м/с — давление падает до $150 - 16 = 134$ кПа, ведь $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (36 - 4) = 16$ кПа.

Из уравнения вырастает куча техники: водоструйный насос и карбюратор засасывают жидкость разрежением за сужением, трубка Пито меряет скорость самолёта по разнице давлений, крыло ловит подъёмную силу на разнице скоростей потоков. Высотный член отвечает гидростатике: в стоячей воде на глубине 10 м давление выше атмосферного на $\approx 98$ кПа. Скорость истечения из отверстия — закон Торричелли $v = 2 g h$ : с 5 м вода выходит со скоростью около 9,9 м/с. Вывод и применение — в уроке гидростатика и гидродинамика, энергетическая подоплёка — в материале работа и энергия.

p + \frac{ρ v ^{2}}{2} + ρ g h = const

уравнение Бернулли вдоль линии тока: рост скорости в горизонтальной трубе с 2 до 6 м/с снижает давление на 16 кПа

Частые вопросы

Применимо ли уравнение Бернулли к реальным трубам?

С оговорками. Оно выведено для идеальной жидкости: несжимаемой, без вязкости, течение стационарное и без завихрений. В реальных трубах вязкость съедает часть напора, поэтому к уравнению добавляют потери на трение и местные сопротивления через коэффициенты из справочников. При турбулентности и резких сужениях формула даёт качественную картину, а точный расчёт ведут по эмпирическим поправкам. Для быстрых инженерных оценок Бернулли остаётся инструментом номер один.

Почему струя из суженного шланга бьёт дальше?

Расход воды не меняется, значит в узком сечении скорость обязана вырасти — жидкость протискивается быстрее. По уравнению Бернулли рост скоростного напора оплачивается падением статического давления, и струя вылетает с большей скоростью. Дальность полёта струи при том же угле наклона задаётся именно начальной скоростью, поэтому пережатый шланг поливает дальше, хотя через него проходит то же количество воды в секунду, что и раньше.