🍎 Механика

Закон сохранения момента импульса

Q: Человек на вращающемся стуле прижал гантели к груди — что изменится?

Момент инерции уменьшится: гантели внося́т вклад $mr^2$, и при сокращении $r$ вдвое их вклад падает вчетверо. Момент импульса сохраниться обязан, поэтому угловая скорость вырастет ровно во столько раз, во сколько уменьшился момент инерции. Кинетическая энергия при этом увеличится — работу против «центробежного» сопротивления совершили сами руки, и этот прирост энергии честно появляется в балансе.

англ. Conservation of angular momentum

Если сумма внешних моментов сил относительно оси равна нулю, момент импульса системы L = Iω остаётся постоянным — вращение лишь перераспределяется между частями системы.

У вращения есть свой закон сохранения, столь же строгий, как у импульса или энергии. Закон сохранения момента импульса: если внешние силы не создают момента относительно оси ( $\sum M_{внеш} = 0$ ), то $L = I ω$ не меняется. Сам момент импульса — сумма $m_{i} v_{i} r_{i}$ по точкам системы. Меняется распределение массы — меняется скорость вращения, но произведение держится. Момент сил трения, реакции опоры через ось, силы тяжести симметричного тела — всё это моменты, равные нулю, поэтому закон работает шире, чем кажется.

Классика демонстраций — фигурист в пируэте. С вытянутыми руками момент инерции $I_{1}$ , вращение медленное; руки прижаты — вклад рук падает с $r^{2}$ , инерция уменьшается в разы, и из сохранения $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ скорость вырастает во столько же: приложить силы не нужно, природа только перебрасывает угловую скорость. Тот же механизм в астрономии: планета у перигелия движется быстрее, чем у афелия, — это второй закон Кеплера, перефразированный закон сохранения. Скачущее нейтронное звёздное вращение после коллапса — тот же сюжет в космическом масштабе. Динамика вращения собрана в уроке вращательное движение, орбитальные задачи — в гравитации и орбитах.

I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2} (\sum M_{внеш} = 0), L = I ω

при отсутствии внешних моментов произведение момента инерции на угловую скорость постоянно

Частые вопросы

Человек на вращающемся стуле прижал гантели к груди — что изменится?

Момент инерции уменьшится: гантели внося́т вклад $m r^{2}$ , и при сокращении $r$ вдвое их вклад падает вчетверо. Момент импульса сохраниться обязан, поэтому угловая скорость вырастет ровно во столько раз, во сколько уменьшился момент инерции. Кинетическая энергия при этом увеличится — работу против «центробежного» сопротивления совершили сами руки, и этот прирост энергии честно появляется в балансе.

Почему при падении на Землю спутник не изменяет момент импульса всей системы?

Сила тяготения направлена к центру Земли, её плечо относительно центра равно нулю, значит момент силы нулевой — момент импульса орбитального движения сохраняется независимо от эллиптичности орбиты. Скорость растёт у перигелия только потому, что радиус-вектор стал короче: произведение $m v r sin α$ фиксировано. Именно это наблюдение позволило Ньютону связать законы Кеплера с центральной силой.