🍎 Механика

Закон сохранения механической энергии

англ. Conservation of mechanical energy

Если работают только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна: потерянная высота превращается в скорость и обратно без потерь.

Механика любит честный обмен: сколько тело потеряло высоты, столько приобрело скорости. Закон сохранения механической энергии утверждает, что при действии только консервативных сил (тяжесть, упругость) сумма $E = T + U$ не меняется: $m g h + m v^{2} /2 = const$ . Причина — в устройстве самих консервативных сил: их работа зависит лишь от начальной и конечной точек, поэтому по замкнутому кругу энергия возвращается без остатка, и потенциальную энергию вообще имеет смысл вводить только для таких сил — см. потенциальная энергия.

Пример-расчёт: тело отпустили с высоты $h = 20$ м. У земли $m g h = m v^{2} /2$ , массы сокращаются, $v = 2 g h = 2 \cdot 9, 8 \cdot 20 \approx 19, 8$ м/с — и заметьте, без массы: перо и молот при свободном падении разгоняются одинаково. Если же на пути есть трение или сопротивление воздуха, часть механической энергии перетекает во внутреннюю: на $Δ E = F_{тр} s$ меньше в конце, и баланс писать надо уже полный — с теплом. Общий закон сохранения энергии работает всегда, просто механика перестаёт быть единственным держателем счёта. Рабочие приёмы — в уроке работа и энергия, обзорная статья — закон сохранения энергии.

E = \frac{m v ^{2}}{2} + m g h = const, A_{неконс} = E_{2} - E_{1}

при одних консервативных силах сумма неизменна; работа неконсервативных сил равна изменению механической энергии

Частые вопросы

При наличии трения закон сохранения энергии нарушается?

Механическая часть — да, уменьшается, и ровно на работу сил трения. Но энергия как таковая не исчезает: тормозной диск греется, воздух слегка теплеет, внутренняя энергия растёт на $Q = F_{тр} s$ . Поэтому в задачах честнее говорить о законе сохранения полной энергии: механика плюс тепло. Если в задаче трение есть, а спрашивают скорость у земли — пишите энергетический баланс с вычетом $F_{тр} s$ .

Как быстро решать задачи высота–скорость через сохранение энергии?

Приравнивайте полную энергию в двух состояниях и не считайте путь: с горки любой формы высота $h_{1}$ даёт $v = 2 g (h_{1} - h_{2})$ в точке $h_{2}$ независимо от профиля спуска. Масса тоже часто выпадает. Ошибки трёх типов: забыть начальную скорость в кинетической энергии, смешать высоты относительно разных нулей и не заметить пружину, запасшую $k x^{2} /2$ .