🍎 Механика

Центр масс

англ. Center of mass

Точка, в которой «собрана» вся масса системы: движется под действием внешних сил так, будто вся масса в ней; у кольца лежит вне материала.

Положите линейку на палец — она уравновесится в одной конкретной точке. Это и есть центр масс: точка, описывающая распределение массы и ведущая себя так, будто в ней сосредоточена вся масса системы. Для двух шаров — 1 кг на отметке 0 и 3 кг на отметке 2 м — центр сидит в $x_{c} = (1 \cdot 0 + 3 \cdot 2) /4 = 1, 5$ м, ближе к тяжёлому. У кольца он в пустом геометрическом центре: точка не обязана лежать внутри материала, и подброшенное кольцо вращается вокруг этой пустоты.

Ценность понятия — в теореме о движении центра масс: он движется так, как двигалась бы точка с массой всей системы под действием тех же внешних сил. Внутренние силы на него не влияют: разрыв снаряда в полёте не меняет траекторию его центра масс. Человек массой 60 кг перешёл с кормы плота на 3 м — плот откатился на $60 \cdot 3/180 = 1$ м, потому что центр масс пары «человек плюс плот» остался на месте. Теорема с выводом — в уроке импульс и сохранение, системная версия — в материале динамика системы точек.

r_{c} = \frac{\sum _{i} m _{i} r _{i}}{M}, M a_{c} = F_{внеш}

определение центра масс и теорема о его движении: ускорение центра масс определяют только внешние силы

Частые вопросы

Чем центр масс отличается от центра тяжести?

Центр масс — чистая характеристика распределения массы: он существует и в невесомости, гравитация на него не влияет. Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести; она совпадает с центром масс, только когда поле однородно, то есть g одинаково во всех частях тела. Для конструкций размером с километр разница уже заметна, а в учебных задачах обоих словах говорят об одном и том же — и это нормально, пока поле можно считать однородным.

Может ли центр масс находиться вне тела?

Да, и это не экзотика. У кольца и полой сферы он в геометрическом центре, где материала нет вовсе; у бумеранга — в воздухе между лопастями. Отсюда практическое следствие для равновесия: тело стоит, пока вертикаль, опущенная из центра масс, попадает в площадь опоры. Опрокинутая бутылка падает именно поэтому — центр масс выходит за контур опоры, и гравитация создаёт опрокидывающий момент вместо возвращающего.