🍎 Механика

Теорема косинусов

Q: Откуда в формуле минус?

Из скалярного произведения: $c^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ — сторона c в треугольнике «вычитается». При тупом угле косинус отрицателен, минус на минус даёт прибавку — тупой угол и правда удлиняет сторону.

Q: Как найти угол, зная все три стороны?

Развернуть формулу: $\cos\gamma = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$, где c — сторона напротив искомого угла. Пример: стороны 3, 5, 7 дают $\cos\gamma = -0.5$, угол 120°. Если по модулю вышло больше единицы — треугольника с такими сторонами не существует.

англ. Law of cosines

Теорема Пифагора, которая научилась работать с любым углом: квадрат стороны через две другие и косинус угла между ними. Угол 90° — и она сворачивается обратно в Пифагора.

Теорема косинусов — это теорема Пифагора, которая научилась жить с острыми и тупыми углами. В прямоугольном треугольнике $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; в любом другом к правой части добавляется поправка $- 2 ab cos γ$ , и её знак честно докладывает: острый угол сторону подтягивает, тупой — раздувает.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

γ — угол между сторонами a и b; c — сторона напротив него

Пример. Две стороны 5 и 7, угол между ними 60°. Тогда $c^{2} = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos 60° = 74 - 70 \cdot 0.5 = 39$ , значит $c = 39 \approx 6.24$ . Заметьте: это короче «пифагоровской» $74 \approx 8.60$ — острый угол стянул сторону. Согните угол до 90°, поправка исчезнет, и вернётся Пифагор.

Стороны 5 и 7, угол 60° — находим третью сторону

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Теорема работает и в обратную сторону: по трём сторонам она находит угол. Стороны 3, 5, 7: $cos γ = (9 + 25 - 49) / (2 \cdot 3 \cdot 5) = - 15/30 = - 0.5$ , значит $γ = 120°$ . Отрицательный косинус — мгновенный сигнал: угол тупой. Этим же приёмом проверяют, существует ли треугольник вообще: если косинус по модулю вылез за единицу — стороны не сходятся в фигуру.

F_{1} + F_{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} cos α

модуль суммы двух векторов: тот же косинус, но с плюсом — α здесь угол между векторами

В физике теорема прячется в сложении векторов: $∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos α$ — знак плюс, потому что $α$ отсчитан между векторами, а в треугольнике сил он разворачивается на 180°−α (работа со скалярным произведением — в термине вектор). Две силы 3 Н и 5 Н под углом 60° дают равнодействующую $9 + 25 + 2 \cdot 15 \cdot 0.5 = 49 = 7$ Н — ровно семь ньютонов, проверьте. Такие разложения — ежедневная работа на законах Ньютона и в кинематике точки.

Частые вопросы

Когда применять теорему косинусов, а когда синусов?

Теорема косинусов — когда известны две стороны и угол между ними (ищем третью сторону) или все три стороны (ищем угол). Теорема синусов — когда есть сторона и два угла либо пара «сторона–противолежащий угол» и речь о других углах треугольника.

Откуда в формуле минус?

Из скалярного произведения: $c^{2} = ∣ b - a ∣^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ — сторона c в треугольнике «вычитается». При тупом угле косинус отрицателен, минус на минус даёт прибавку — тупой угол и правда удлиняет сторону.

Как найти угол, зная все три стороны?

Развернуть формулу: $cos γ = (a^{2} + b^{2} - c^{2}) / (2 ab)$ , где c — сторона напротив искомого угла. Пример: стороны 3, 5, 7 дают $cos γ = - 0.5$ , угол 120°. Если по модулю вышло больше единицы — треугольника с такими сторонами не существует.

Теорема справедлива для любого треугольника?

На плоскости — для любого: острого, прямоугольного, тупого. На сфере и других кривых поверхностях — нет: там своя, сферическая геометрия, и формулы другие. Пифагоров частный случай при $γ = 90°$ получится автоматически, ведь $cos 90° = 0$ .