⚙️ Теормех35 минСложность 3/5+65 XP

Динамика системы материальных точек: общие теоремы и примеры

Импульс, кинетический момент и энергия системы: почему внутренние силы не считают, как движется центр масс и куда летят осколки снаряда. Числа, разбор и квизы.

3 интерактива3 квизаУрок 7 из 10Обновлено 04.10.2026

Снаряд шёл по параболе, и в верхней точке его разорвало на два осколка. Один полетел вверх, другой — вбок, и следить за каждым по второму закону Ньютона — значит расписать десятки сил: давление пороховых газов, столкновения осколков, сопротивление воздуха. А теперь фокус: если следить не за осколками, а за точкой посередине между ними, она продолжит лететь по исходной параболе, как ни в чём не бывало. Почему? Отвечает динамика системы точек — и заодно избавляет от расчёта почти всех этих сил.

Система точек: внешние силы считают, внутренние — нет#

Система материальных точек — любая совокупность тел, которые мы договорились изучать сообща: осколки снаряда, вагоны поезда, планеты Солнечной системы. Каждую точку тянут силы двух сортов. Внешние приходят из-за границы системы: тяжесть, реакция рельса, притяжение Солнца. Внутренние — силы взаимодействия точек системы между собой: упругость сцепок, давление осколков друг на друга, гравитация между планетами.

Второй закон Ньютона выпишем честно для каждой точки: $m_{k} a_{k} = F_{k}^{внеш} + F_{k}^{внутр}$ , где $m_{k}$ — масса точки, $a_{k}$ — её ускорение. Теперь сложим все уравнения. Внутренние силы попарно сокращаются: по третьему закону Ньютона сила, с которой точка $i$ давит на точку $j$ , равна по модулю и противоположна по направлению силе обратного действия. В сумме по всей системе — ноль:

k \sum F_{k}^{внутр} = 0

Главное свойство внутренних сил: внутри системы они гасят друг друга

Это не значит, что внутренних сил «нет» — нить всё равно рвётся, сцепка всё равно сминается. Это значит, что на движение системы как целого они безразличны: изменить суммарный импульс может только внешняя сила. Сколько бы ни бушевал взрыв внутри снаряда, по движению его центра масс снаружи это не видно.

Тренажёр векторов

Тащи векторы!

Схватите мышкой (или пальцем) концы векторов $a$ (фиолетовый) и $b$ (оранжевый). Зелёный — их сумма по правилу параллелограмма. Следите за скалярным произведением: когда векторы перпендикулярны, оно обнуляется!

a⃗·b⃗ (скалярное)

-1.00

Угол между

98.1°

|a⃗|

3.16

|b⃗|

2.24

a⃗+b⃗

(2.0; 3.0)

Скалярное произведение a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|·cos φ — попробуйте повернуть b⃗ на 90°: получится 0.

Центр масс: точка, которая двигается честно#

Центр масс — точка $C$ , положение которой вычисляется как среднее по массам:

r_{C} = \frac{\sum _{k} m _{k} r _{k}}{\sum _{k} m _{k}}, M = k \sum m_{k}

Радиус-вектор центра масс; M — полная масса системы

Продифференцируем это определение дважды по времени и умножим на полную массу $M$ . Слева появится $M a_{C}$ , справа — сумма внешних сил. Получилась теорема о движении центра масс:

M a_{C} = k \sum F_{k}^{внеш}

Центр масс движется так, как двигалась бы точка массой M под действием всех внешних сил

Внутренних сил в правой части нет — они сократились парами. Отсюда и парадокс со снарядом: взрыв — чисто внутреннее событие, поэтому центр масс обязан лететь дальше по параболе. Собьётся ли он с курса? Только если появится новая внешняя сила — скажем, осколок поймает боковой ветер.

Разберём на плоте. Человек массой 60 кг стоит на плоту 240 кг, оба неподвижны — по горизонтали система замкнута. Человек начинает идти со скоростью 1 м/с относительно воды. Суммарный импульс был нулём и остаётся нулём: $60 \cdot 1 - 240 \cdot v = 0$ , откуда $v = 0.25$ м/с — плот отплывает назад вчетверо медленнее. А центр масс при этом стоит на месте: человек уходит вперёд, плот назад, взвешенная середина не двигается. Этого достаточно, чтобы объяснить, почему с лодки трудно прыгнуть на берег: лодка отъезжает ровно на столько, сколько нужно для сохранения нулевого импульса.

Закон сохранения импульса: когда сумма скоростей не трогается#

Если векторная сумма внешних сил равна нулю (замкнутая система), суммарный импульс $P = \sum m_{k} v_{k}$ постоянен. На практике чаще работает ослабленная версия: если внешние силы дают нулевую проекцию на какую-то ось, то по этой оси сохраняется проекция импульса. Почти вся задача-практика держится именно на ней: тяжесть по горизонтали не тянет, значит горизонтальная составляющая импульса — неприкосновенна.

Ещё одна каноничная задача — тележки с пружинным буфером. Тележка массой 2 кг катится со скоростью 3 м/с на покоящуюся тележку 4 кг и сцепляется с ней. Импульс до: $2 \cdot 3 = 6$ кг·м/с; после — $(2 + 4) v$ , откуда $v = 1$ м/с. Куда делась энергия? Было $2 \cdot 9/2 = 9$ Дж, стало $6 \cdot 1^{2} /2 = 3$ Дж: шесть джоулей смял буфер. Удар неупругий — энергия не сохраняется, а импульс сохраняется всегда; перепутать эти два предложения — верный способ обнулить задачу на зачёте.

Теорема	Формула	Когда выручает
О движении центра масс	$M a_{C} = \sum F^{внеш}$	полёт снаряда после разрыва, движение плота, старт ракеты
Сохранение импульса	$\sum m_{k} v_{k} = const$ при $\sum F^{внеш} = 0$	удары, разрывы, замкнутые системы
Об изменении кинетического момента	$\frac{d L _{O}}{d t} = \sum M_{O}^{внеш}$	вращение вокруг оси, скамья Жуковского, гироскопы
Об изменении кинетической энергии	$T_{2} - T_{1} = \sum A_{k}$	скорости через работу сил

Четыре общие теоремы динамики системы и их рабочий инструмент

Полный пример: разрыв снаряда с числами#

Снаряд массой 10 кг летит горизонтально со скоростью 200 м/с — в верхней точке траектории. Взрыв делит его на осколки 4 кг и 6 кг, причём меньший полетел вертикально вверх со скоростью 100 м/с. Куда и как быстро полетел больший? Время взрыва — миллисекунды: внешние силы за это время импульс заметно изменить не успевают, значит импульс системы сохраняется. Раскручиваем по шагам:

Разбор: скорость большого осколка

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Силы пороховых газов так и остались неизвестными — и не понадобились. В этом почерк общих теорем: они отвечают на вопросы о движении в целом, минуя детали взаимодействия. Когда детали всё-таки нужны — например, как энергия распределилась между осколками — приходится считать отдельно: до разрыва кинетическая энергия была $10 \cdot 20 0^{2} /2 = 200$ кДж, а после: $6 \cdot 34 0^{2} /2 + 4 \cdot 10 0^{2} /2 \approx 347 + 20 = 367$ кДж. Прибавка в 167 кДж — работа взрывчатки: внутренние силы могут перекачивать энергию, хотя импульс трогать не вправе.

Кинетический момент: вращательная бухгалтерия#

Для вращения нужен свой запас движения — кинетический момент (момент количества движения) относительно центра или оси $O$ . У каждой точки он равен моменту её импульса $r_{k} \times m_{k} v_{k}$ , у системы — сумме. Теорема об изменении связывает его не с силами, а с моментами сил:

L_{O} = k \sum r_{k} \times m_{k} v_{k}, \frac{d L _{O}}{d t} = k \sum M_{O}^{внеш}

Кинетический момент системы и теорема об его изменении

Если суммы моментов внешних сил относительно оси нулевые, кинетический момент сохраняется: $L_{z} = I_{z} ω = const$ , где $I_{z}$ — момент инерции относительно оси. Классическая демонстрация — скамья Жуковского: человек с гантелями на вращающемся табурете. Пусть с расставленными руками $I_{1} = 4$ кг·м² и $ω_{1} = 10$ рад/с, то есть $L = 40$ кг·м²/с. Руки прижаты: момент инерции упал до $I_{2} = 2$ кг·м². Кинетическому моменту взяться неоткуда и деться некуда — угловая скорость обязана вырасти вдвое: $ω_{2} = 40/2 = 20$ рад/с. Тот же трюк проделывает фигурист в волчке; понятие подробнее разобрано в статье момент импульса, а вращательная механика тела — в уроке о вращательном движении.

Кинетическая энергия системы и теорема Кёнига#

Кинетическая энергия системы — сумма по точкам: $T = \sum m_{k} v_{k}^{2} /2$ . Теорема Кёнига раскладывает её на два слоя — движение вместе с центром масс плюс движение относительно центра масс:

T = \frac{M v _{C}^{2}}{2} + \frac{\sum _{k} m _{k} v _{k}^{'} ^{2}}{2}

Теорема Кёнига: энергия равна переносной плюс относительной

Полезно это для катящихся тел. Однородный цилиндр массой 20 кг катится без проскальзывания, ось движется со скоростью 3 м/с. Переносная часть: $20 \cdot 3^{2} /2 = 90$ Дж. Относительное движение — чистое вращение с $ω = v / R$ ; для цилиндра $I = m R^{2} /2$ , значит вращательная доля $I ω^{2} /2 = m v^{2} /4 = 45$ Дж. Итого $T = 135$ Дж — в полтора раза больше, чем у скользящего без вращения тела той же массы. Вращение не бесплатно: без него цилиндр получил бы больше поступательной скорости от той же работы.

Реактивное движение: теорема о центре масс на службе у ракеты#

Ракета — система переменной массы: топливо сгорает и выбрасывается назад, масса аппарата убывает на лету. Применим теорему о движении центра масс к системе «ракета плюс уже выброшенные газы» — получится уравнение Мещерского (И. В. Мещерский, 1897):

M \frac{d v}{d t} = \sum F^{внеш} + F_{реак}, F_{реак} = u \frac{d M}{d t}

Тяга равна секундному расходу топлива, умноженному на скорость истечения газов

Числовой прикид: двигатель расходует 120 кг топлива в секунду, газы вылетают со скоростью 2500 м/с относительно ракеты. Тяга $F = 120 \cdot 2500 = 300000$ Н — триста килоньютонов из обыкновенного сохранения импульса. Никакого «отталкивания от воздуха» не нужно: ракете, в отличие от винта, атмосфера не требуется. Идею довёл до рабочей физики Циолковский в работе 1903 года; при подъёме с Земли к уравнению добавляют тяжесть и сопротивление воздуха, и задача превращается в дифференциальное уравнение с переменной массой — к тому времени, как вы дойдёте до линейных неоднородных ДУ, оно будет решаться на раз.

Внутренние силы попарно сокращаются — в общие теоремы они не входят
Центр масс движется как точка под действием внешних сил: $M a_{C} = \sum F^{внеш}$
Нулевая сумма внешних сил — импульс сохраняется, хотя бы по проекции
Нулевая сумма моментов внешних сил — кинетический момент сохраняется: скамья Жуковского
Кёниг: $T = M v_{C}^{2} /2 + T_{отн}$ — энергия делится на переносную и относительную
Тяга ракеты — сохранение импульса, записанное для переменной массы

Следующий шаг по курсу — принцип Даламбера: тот же второй закон, переписанный так, чтобы задачу динамики решать инструментами статики — уравнениями равновесия. Перед ним полезно освежить импульс и законы сохранения из курса физики и держать под рукой шпаргалку по формулам механики. А когда дойдёте до колебаний, вся эта бухгалтерия энергий выстрелит ещё раз в уравнениях Лагранжа.

Колода: общие теоремы на ладони

Знаю: 0/6

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 6

Внутренние силы системы

Проверь себя+8 XP

Человек массой 60 кг переходит по плоту 240 кг со скоростью 1 м/с относительно воды. С какой скоростью движется плот?

Проверь себя+8 XP

Снаряд разорвался в полёте. Что произойдёт с центром масс осколков?

Проверь себя+8 XP

Фигурист прижал руки, и его момент инерции уменьшился вдвое. Как изменилась угловая скорость вращения?

Частые вопросы

Почему внутренние силы не влияют на движение системы?

По третьему закону Ньютона внутренние силы существуют парами: действие и противодействие равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным точкам системы. При суммировании уравнений движения по всем точкам каждая пара даёт ноль. Поэтому суммарный импульс и движение центра масс определяются только внешними силами.

Как найти скорость осколков после разрыва снаряда?

На масштабе времени взрыва внешние силы не успевают изменить импульс, поэтому сохраняется суммарный импульс: до разрыва $m v_{0}$ , после — сумма импульсов осколков $\sum m_{k} v_{k}$ . Записывают равенство по проекциям и решают систему уравнений относительно неизвестных скоростей. Энергия при разрыве не сохраняется: часть её переходит в деформацию и нагрев.

Чем кинетический момент отличается от импульса?

Импульс описывает поступательное движение — «сколько движения». Кинетический момент — вращательное: он учитывает ещё и плечо, где это движение приложено. Импульс меняют силы, кинетический момент — моменты сил. В отсутствие внешних моментов относительно оси кинетический момент сохраняется даже тогда, когда импульс меняется.

Что даёт теорема Кёнига простыми словами?

Кинетическая энергия системы складывается из двух частей: энергия всей массы, движущейся вместе с центром масс, плюс энергия движения точек относительно центра масс. Для катящегося колеса первая часть — поступательная, вторая — вращательная. Теорема удобна, когда центр масс движется очевидным образом, а относительное движение описывается вращением.

Готовитесь к контрольной?

Чеклист тем по «Теормех»: что вы уже умеете, что повторить и в каком порядке.

Открыть чеклист предмета →

Проверьте себя в бою

Босс-экзамен по «Теормех»: квизы всех уроков плюс бесконечный поток сгенерированных задач. Каждая попытка — новый расклад.

Начать босс-экзамен →