Ускорение Кориолиса: сложное движение точки и теорема с примерами

Центробежный насос: рабочее колесо крутится, и частица воды скользит вдоль изогнутой лопатки. Расчётчик посчитал центростремительное ускорение от вращения — а напор получился не тот, и кавитация сожгла лопатки за месяц. Пропущенное слагаемое называется ускорением Кориолиса: оно возникает всякий раз, когда точка движется относительно тела, которое само вращается. Это слагаемое стоит в уравнениях турбомашин, гирокомпасов, баллистических таблиц — и в каждой задаче на сложное движение точки, где система отсчёта не инерциальна. Разберём, откуда оно берётся, куда направлено и как его считать без ошибок.

Три движения одной точки: относительное, переносное, абсолютное#

Сложное движение — это движение точки относительно системы отсчёта, которая сама двигается. Человек идёт по вагону идущего поезда: относительно вагона — своим шагом, вместе с вагоном — мимо столбов, относительно земли — суммой того и другого. Чтобы не путаться в словах, договорились о трёх терминах. Относительное движение — относительно подвижной системы (человек против вагона). Переносное движение — движение той точки подвижной системы, в которой в данный момент находится наша точка (вагон проносит это место мимо столбов). Абсолютное движение — относительно неподвижной системы: оно складывается из двух предыдущих.

Для скоростей всё просто и это вы уже видели в кинематике точки: абсолютная скорость — геометрическая сумма относительной и переносной. Если поезд идёт 20 м/с, а пассажир идёт по ходу 1 м/с, относительно земли он движется со скоростью 21 м/с — арифметика работает, потому что обе скорости направлены вдоль рельсов. Если же он идёт поперёк вагона, скорости складываются уже как векторы, по диагонали — и без правил сложения векторов из линейной алгебры не обойтись:

• пассажир в вагоне: относительная — шаг, переносная — скорость вагона
• вода в канале вращающейся планеты: относительная — течение, переносная — суточное вращение
• ползун в пазу вращающегося диска: относительная — вдоль паза, переносная — вместе с пазом
• клапан, скользящий по кулачку: относительная — по профилю, переносная — вращение кулачка
• снаряд в стволе, который ведёт огонь с движущейся платформы

Скорости — только половина дела. Вторая производная всё портит: ускорения при сложном движении суммируются не так чисто. Между ними вклинивается добавка, которой не было ни в относительном, ни в переносном движении по отдельности — результат связки «движение + поворот». Её и назвали поворотным, или кориолисовым, ускорением по имени Гаспара-Гюстава Кориолиса, разобравшего вопрос в 1835 году.

Теорема Кориолиса: откуда берётся лишнее ускорение#

Продифференцируем сумму скоростей по времени — и увидим две скрытые причины. Первая: относительная скорость ${\vec{v}}_r$ меняет своё направление в пространстве, потому что подвижная система поворачивается вместе с телом — поворачивается и вектор, привязанный к телу. Вторая: переносная скорость ${\vec{v}}_e$ меняется по модулю, потому что точка перешла в другое место подвижной системы, где переносная скорость другая (у диска чем дальше от оси, тем быстрее точки). Каждая причина даёт своё слагаемое, и оба слагаемых оказываются одинаковыми — они и складываются в удвоенное произведение:

Множитель 2 не опечатка и не «коэффициент запаса»: ровно половина поворотного ускорения приходит от поворота вектора ${\vec{v}}_r$ вместе с системой, вторая половина — от перемены переносной скорости при переходе точки в новое место. Полное ускорение точки в сложном движении — сумма четырёх векторов: относительного, переносного (обычно это нормальное ${\omega }^{2}R$ к оси и, если вращение неравномерное, касательное $\epsilon R$) и кориолисова.

Куда направлен ${\vec{a}}_k$, важно знать так же твёрдо, как модуль. Строгий ответ даёт векторное произведение. Для плоских задач работает правило Жуковского: спроецируйте относительную скорость на плоскость, перпендикулярную оси вращения, поверните эту проекцию на $90^{\circ }$ в сторону вращения — полученный вектор и есть направление кориолисова ускорения. Ползун ползёт от оси диска, диск крутится против часовой стрелки (смотрим с торца оси) — поверните стрелку «наружу» на четверть оборота по ходу вращения, и она ляжет вбок, по ходу вращения.

Полный пример: ползун в пазу вращающегося диска#

Классическая задача семинара: диск радиусом 0,5 м вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega =4$ рад/с, в радиальном пазу движется ползун; в рассматриваемый момент он находится на расстоянии 0,3 м от оси и скользит наружу со скоростью $v_r=2$ м/с. Требуется найти его полное ускорение. Пройдём решение по шагам — так, как его ждут на защите:

Обратите внимание на иерархию величин: переносное ускорение — 4,8 м/с², а поворотное — 16. Их отношение $2v_r/(\omega R_{OM})=3,3$ определилось не параметрами машины, а отношением относительной скорости к окружной. В реальном центробежном насосе, где жидкость по лопатке разгоняется до десятков метров в секунду при окружных скоростях того же порядка, кориолисово ускорение доминирует безраздельно — и именно оно формирует реальный профиль скоростей на выходе колеса.

Похожую картину даёт орудийный ствол: снаряд, летящий вдоль ствола, при повороте башни получает поперечное кориолисово ускорение, которое учитывают в системах стабилизации. А в динамике системы точек этому ускорению отвечает сила Кориолиса — та самая, что отклоняет маятник Фуко и закручивает циклоны. Кинематика и динамика здесь сцеплены намертво: поверните задачу — и ускорение станет силой инерции.

Что дальше: формулы всей кинематики на одном листе — шпаргалка по теормеху, там же собраны переносные и относительные величины. Плоскопараллельное движение тел, из которого вырастают переносные скорости в механизмах, разобрано в уроке кинематика твёрдого тела; физическая сторона того же материала — в кинематике точки курса физики. Когда ускорения найдены, начинается динамика: силы инерции, включая силу Кориолиса, и уравнения движения — в уроке динамика системы точек.