Принцип возможных перемещений: виртуальная работа и равновесие механизмов

Автомобильный домкрат поднимает полуторатонную машину усилием руки в сто пятьдесят ньютонов — в сто раз меньше веса. Слесарь не пишет уравнений равновесия: винт, рычаг, резьба — и физика работает. Но как только механизм усложняется — кривошипы, кулисы, полиспасты, — скалывать силы по чертежу становится мучительно: реакции связей сыплются в задачу десятками. Экономный выход называется принципом возможных перемещений: реакции идеальных связей выкидываются из задачи разом, не будучи посчитанными. Приём оформил Иоганн Бернулли в 1717 году в письме Вариньону — и это самый экономный инструмент статики, который у инженера есть.

Виртуальное перемещение: что разрешено и что запрещено#

Возможное (виртуальное) перемещение — бесконечно малое перемещение, совместимое со связями в данный момент времени. Виртуальное — потому что его никто не совершает: это мысленный сдвиг «а что, если систему чуть-чуть сдвинуть, не нарушив связей?». Качающийся рычаг разрешено повернуть на малый угол вокруг шарнира — значит, перемещения его точек по дугам вокруг шарнира возможны; сместить конец рычага перпендикулярно дуге — нельзя, шарнир запрещает. Связи и их реакции уже разобраны в уроке о связях и их реакциях; здесь важен один их класс.

Идеальные связи — те, суммарная работа реакций которых на любых возможных перемещениях равна нулю. Гладкая поверхность: реакция перпендикулярна ей, а перемещение вдоль неё — перпендикуляр реагирует нулевой работой. Нерастяжимая нить: две её точки смещаются одинаково вдоль нити, натяжения равны и противоположны — работа пары сокращается. Шарнир, каток на рельсе, жёсткая заделка без проскальзывания — та же история. Список короткий, покрывает почти всё, что ставят в задачах:

• гладкая опора и гладкая плоскость — реакция перпендикулярна возможному перемещению
• нерастяжимая нить — работы двух концов гасятся попарно
• цилиндрический и сферический шарнир — точка крепления не движется
• каток без скольжения — мгновенный центр скоростей в точке контакта, работа реакции нулевая
• жёсткая связь двух точек — равные проекции перемещений вдоль связи дают нулевую суммарную работу

Теперь главный ход. Система с идеальными связями находится в равновесии тогда и только тогда, когда сумма работ всех активных сил на любом возможном перемещении равна нулю. Реакций в равенстве нет — идеальные связи своё отработали ещё на этапе определения. Одно уравнение вместо системы проекций и моментов:

Здесь $\delta {\vec{r}}_i$ — возможное перемещение точки приложения силы ${\vec{F}}_i$. Все они связаны между собой кинематикой механизма: сдвинули одну точку — остальные сместились так, как разрешают связи. Поэтому «любое» означает: взяли произвольное допустимое перемещение, выразили все $\delta {\vec{r}}_i$ через один независимый параметр, вынесли его за скобку — коэффициент при нём и обязан быть нулём. Сколько у механизма степеней свободы, столько независимых виртуальных перемещений и столько уравнений получится.

Золотое правило механики#

Пусть на механизм действуют две силы, и на возможном перемещении первая точка сдвинулась на $\delta s_1$, вторая — на $\delta s_2$. Условие равновесия даёт $F_1\delta s_1-F_2\delta s_2=0$, откуда отношение сил обратно отношению перемещений. Это и есть золотое правило механики: выигрываешь в силе — во столько же раз проигрываешь в перемещении. Рычаг, блок, наклонная плоскость, винт — вся «простая механика» Архимеда выводится одной строкой, а заодно выясняется, откуда берётся выигрыш: из разницы скоростей точек механизма.

Правая часть с velocità — рабочая замена: возможные перемещения пропорциональны скоростям тех же точек, а скорости механизма считать привычнее по кинематике твёрдого тела. Поэтому в задачах часто пишут «дадим системе виртуальную скорость» — перемещение, делённое на общий масштаб времени. Смысл не меняется, арифметика та же.

Применение к механизмам: винтовой домкрат#

Домкрат: винт с шагом резьбы $h$ (продвижение груза за один оборот), к головке винта приложена горизонтальная сила $P$ на плече $R$ от оси. Дадим рукоятке возможное перемещение — поворот на малый угол $\delta \phi$. Точка приложения силы проходит дугу $R\delta \phi$, а груз поднимается на $\frac{h}{2\pi }\delta \phi$ — резьба превращает оборот в подъём. Виртуальная работа силы $P$ плюс работа веса $Q$ (он против движения) обязана дать ноль:

Тот же расчёт в лоб — уравнениями равновесия винта — потребовал бы раскрытия распределённых реакций по виткам резьбы. Виртуальная работа обходится без них, потому что резьба — идеальная связь: реакции перпендикулярны возможным скольжениям по винтовой поверхности. Трение в реальной паре связи неидеальную делает — его пришлось бы вернуть силой с известным направлением (вдоль поверхности), и в расчёте появилась бы поправка из коэффициента трения. Это честная цена за выход из модели.

Второе применение: реакции связей без систем уравнений#

У принципа есть второй режим работы, о котором забывают половина студентов. Хотите найти реакцию какой-то связи — уберите её, заменив реакцией $R$, и включите $R$ в число активных сил. Затем дайте системе возможное перемещение по направлению удалённой связи: работа всех прочих реакций по-прежнему нулевая, а в уравнение войдёт только $R$ и активные силы. Одно уравнение — одна неизвестная, без основной системы и без лишних реакций. Для статически определимых систем это самый быстрый путь к одной конкретной реакции.

Типичные ошибки

• включить в виртуальную работу реакции идеальных связей — их работа уже нулевая, лишние слагаемые только путают
• принять возможное перемещение конечным: принцип работает на бесконечно малых $\delta$, углы второго порядка выпадать не обязаны
• не согласовать перемещения между собой: каждая $\delta {\vec{r}}_i$ обязана быть совместима со связями, иначе уравнение описывает несуществующий механизм
• забыть трение: шероховатая опора — неидеальная связь, её реакция имеет касательную составляющую, работающую на перемещении
• потерять знак: сила, направленная против возможного перемещения, входит в сумму с минусом

Куда принцип растёт дальше: добавив к активным силам силы инерции по Даламберу, получают принцип Даламбера–Лагранжа — общий закон динамики, из которого выводятся уравнения движения любых систем. Эта ветка разобрана в уроке принцип Даламбера; её продолжение — уравнения Лагранжа в уроке уравнения Лагранжа II рода, где виртуальные перемещения уже спрятаны внутри вывода. Вся статика при этом остаётся на месте: сходящиеся системы сил и моменты и пары сил — те же истины, записанные другим языком, а формулы обоих языков лежат в шпаргалке по теормеху.