Принцип Даламбера: силы инерции в задачах теормеха с примерами

Лифт тормозит, и ноги становятся ватными. Ротор шлифовального станка раскрутили до рабочих оборотов — и станина начала мелко трястись, хотя станок стоит на литом бетоне. Оба эффекта про одно: тела «сопротивляются» изменению скорости. Принцип Даламбера оформляет это сопротивление в виде силы — и позволяет решать задачи динамики привычными инструментами статики: уравнениями равновесия. Приём дешёвый, а экономит страницы выкладок.

Сила инерции: добавка, которая превращает динамику в статику#

Возьмём второй закон Ньютона $m\vec{a}=\sum \vec{F}$ и перенесём массу с ускорением в левую часть: $\sum \vec{F}-m\vec{a}=0$. Добавка $-m\vec{a}$ ведёт себя как ещё одна сила — её называют силой инерции:

Смысл записи: если к реальным силам мысленно добавить силу инерции, получится уравновешенная система сил. А для равновесия техника уже готова из статики: суммы проекций, суммы моментов, пары сил. Задача динамики свелась к статике — в этом весь принцип. Никакой новой физики, только удобная бухгалтерия: ускорение входит в уравнение один раз, слева, и дальше можно рассуждать как привычно.

Система точек: главный вектор и главный момент сил инерции#

Для системы каждую точку награждают своей силой инерции ${\vec{\Phi }}_k=-m_k{\vec{a}}_k$. Все их можно привести к одной силе и одной паре — точно так же, как в статике приводят произвольную систему сил. Откуда берутся формулы приведения? Сложим силы инерции всех точек: $\sum (-m_k{\vec{a}}_k)=-\sum m_k{\vec{a}}_k$. Но по определению центра масс $\sum m_k{\vec{r}}_k=M{\vec{r}}_C$, и после дифференцирования $\sum m_k{\vec{a}}_k=M{\vec{a}}_C$. Никакой отдельной физики: главный вектор сил инерции — просто минус произведение массы системы на ускорение её центра масс. Момент сил инерции собирается из моментов $-m_k{\vec{a}}_k$; для вращения с угловым ускорением $\epsilon$ ускорения точек растут линейно с расстоянием от оси, и сумма моментов сворачивается в $-I_z\epsilon$, где $I_z$ — момент инерции относительно оси.

Практическое следствие: у поступательно движущегося тела достаточно одной силы инерции $\Phi =M{a}_C$, приложенной в центре масс и направленной против ускорения, — вращения нет, пара не возникает. У вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, наоборот: равнодействующая сил инерции нулевая, но пара есть. Катящееся колесо требует и того и другого сразу. Момент инерции и вращательная динамика подробнее разобраны в уроке физики о вращательном движении.

Лифт с грузом: полный разбор с числами#

Груз массой 100 кг висит на канате в лифте. Как меняется натяжение каната на разных участках поездки? Именно эту задачу решает проектировщик подъёмника: канат подбирают по худшему случаю, а не по средней поездке.

Кстати о перегрузках: их меряют в единицах $n=(g+a)/g$ — во сколько раз опора давит сильнее веса. Разгон нашего лифта даёт $n=1180/980=1.2$. Катапультное кресло истребителя — до восьми единиц, центрифуга для подготовки космонавтов — до девяти: кровь «тяжелеет» ровно так же, как груз в лифте, и с трудом доходит до головы.

Тот же приём работает и по горизонтали. Кабина разгоняется вправо с ускорением $a$; на нити висит грузик. Равновесие реальных сил и силы инерции (она направлена влево, против ускорения) даёт наклон нити назад на угол $\alpha$ с $\mathrm{tg}\alpha =a/g$. При $a=3$ м/с²: $\mathrm{tg}\alpha =3/9.8=0.31$, то есть $\alpha \approx 17^{\circ }$. Так и «ведёт» стоящего пассажира в разгоняющемся автобусе: его тело — тот же маятник на нити, просто нитью служат мышцы.

Тело на ускоряющейся платформе: когда оно поедет#

Полный пример второй — про предел, за которым начнётся скольжение. На горизонтальной платформе лежит ящик, коэффициент трения покоя $\mu =0.4$. Платформу разгоняют вправо. Ящик «хочет» остаться на месте — а с точки зрения Даламбера на него действует сила инерции, направленная назад, и трение покоя её удерживает. Пока хватает:

1. 1
   На ящик действуют: тяжесть $mg$ вниз, реакция платформы $N$ вверх, сила инерции $\Phi =ma$ назад — против ускорения платформы.
2. 2
   Вертикаль: $N=mg$ — реакции трогать не нужно, они уравновешены сами.
3. 3
   Горизонталь: трение покоя $F_{т}=\Phi =ma$ держит ящик; максимум трения покоя $F_{extmax}=\mu N=\mu mg$.
4. 4
   Граница: $m{a}_{extmax}=\mu mg$, откуда $a_{extmax}=\mu g=0.4\cdot 9.8=3.92$ м/с².
5. 5
   Итог: пока ускорение платформы ниже $3.9$ м/с², ящик неподвижен относительно неё; выше — поедет назад. Сила инерции сделала это рассуждение одношаговым.

Заметьте, насколько быстро всё сошлось: уравнений равновесия два, неизвестных два. Второй закон Ньютона в исходной постановке дал бы тот же ответ — ящик неподвижен относительно платформы, значит его ускорение равно ускорению платформы, и $ma=F_{т}$ — но с риском запутаться в том, кто кого тащит. Приём Даламбера превращает «кто кого тащит» в привычную статику.

Качение по наклонной плоскости: момент сил инерции в деле#

Момент сил инерции — не пустая формальность: без него не решить ни одно качение. Однородный цилиндр скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания. Добавим к реальным силам силу инерции $-M{a}_C$ и пару $-I_C\epsilon$ — и запишем два уравнения равновесия: проекций и моментов.

1. 1
   Данные: $M=10$ кг, $R=0.2$ м, угол $30^{\circ }$; для однородного цилиндра $I_C=M{R}^2/2=0.2$ кг·м².
2. 2
   Качение без скольжения связывает ускорения: $a_C=\epsilon R$ — на этом держится весь расчёт.
3. 3
   Проекции на наклонную плоскость: $M{a}_C=Mg\sin 30^{\circ }-F_{т}$, где $F_{т}$ — сила трения, направленная вверх по склону.
4. 4
   Моменты относительно центра: $F_{т}R=I_C\epsilon =I_C{a}_C/R$, откуда $F_{т}=M{a}_C/2$ — трение ровно половина инерции.
5. 5
   Подстановка: $a_C=g\sin 30^{\circ }/1.5=9.8\cdot 0.5/1.5\approx 3.27$ м/с² — в полтора раза меньше, чем у скользящей без вращения шайбы ($g\sin 30^{\circ }=4.9$ м/с²): часть работы уходит во вращение.
6. 6
   Проверка: $F_{т}=10\cdot 3.27/2\approx 16.3$ Н; момент сил инерции $I_C\epsilon =0.2\cdot 16.3\approx 3.3$ Н·м — и он равен $F_{т}R=16.3\cdot 0.2$, как и положено.

Несбалансированный ротор: инженерная цена микрона#

У реального ротора центр масс никогда не лежит точно на оси вращения — смещение $e$ называют эксцентриситетом. При вращении с угловой скоростью $\omega$ на ротор действует центробежная сила инерции $F=me{\omega }^2$, вращающаяся вместе с валом. Подшипники обязаны её нести — эти добавочные, периодически меняющиеся реакции называют динамическими реакциями. Именно они трясут станок, гудят вентиляторы и разбалтывают стиральные машины на отжиме.

Числа. Ротор шлифовального шпинделя: масса 20 кг, эксцентриситет 0,2 мм, рабочая скорость 6000 об/мин. Угловая скорость $\omega =2\pi \cdot 6000/60\approx 628$ рад/с. Сила инерции: $F=20\cdot 0.0002\cdot 628^2\approx 1580$ Н — полторы тысячи ньютонов от смещения в две десятых миллиметра. Для сравнения: вес ротора — около 196 Н. Динамическая реакция в восемь раз больше статической нагрузки, меняется по направлению с частотой 100 Гц — отсюда вибрация, нагрев подшипников и усталостные трещины в валах.

Два вывода практики. Первый: сила растёт как квадрат скорости — удвоение оборотов учетверит нагрузку, поэтому у высокооборотных шпинделей допуск на дисбаланс пишут в грамм-миллиметрах. Второй: балансировка — доводка масс так, чтобы центр масс встал на ось, — не косметика, а прямое снижение динамических реакций. Вибрация на частоте вращения — почти всегда диагноз «неуравновешенность».

Четыре ошибки, которые встречаются в каждой второй тетради

• Силу инерции рисуют «куда захотелось»: она приложена к центру масс и направлена строго против ускорения — не по движению и не по скорости
• У вращающегося тела забывают пару $-I_z\epsilon$: без неё уравнение моментов молчит о вращении и выдаёт чушь
• У системы с разными ускорениями точек прикладывают одну общую силу инерции — сначала нужно привести всё к ${\vec{R}}_{\Phi }=-M{\vec{a}}_C$ и $M_{\Phi }$
• Спрашивают, какое тело «создаёт» силу инерции: никакое — фиктивна она, хотя реакции от неё настоящие

Что дальше по курсу: динамические реакции — вход в расчёт валов и вибраций, а сам приём «сила против ускорения» ещё выстрелит в уроке о малых колебаниях, когда рама станка начнёт гудеть на собственной частоте. Если нужен взгляд на ту же задачу вообще без сил — зайдите в уравнения Лагранжа II рода; а исходники всей динамики — второй и третий законы — лежат в уроке о законах Ньютона, формулы для повторения — в шпаргалке по механике.