Малые колебания механических систем: частоты и примеры расчёта

В войсках есть приказ: через мост не ходить в ногу. Он не суеверный: если частота шагов совпадёт с собственной частотой конструкции, каждый шаг будет понемногу добавлять энергию, и через несколько минут мост раскачается. Подобные совпадения инженер обязан предсказывать заранее — для струны, для рамы станка, для подвески автомобиля. Учится он этому на малых колебаниях механических систем: самом вычислительно дешёвом разделе динамики, где вместо сил — одна функция энергии.

Линеаризация: почему около равновесия всё становится синусоидой#

Положение равновесия — конфигурация, где силы уравновесились, а потенциальная энергия имеет минимум; в задачах с вращением минимум ищут на графике эффективного потенциала, где к притяжению добавлен центробежный член. Отклоним систему чуть-чуть. Возвращающая сила окажется почти пропорциональной отклонению: для маятника $\sin \phi \approx \phi$ при малых углах, для пружины это точное свойство, а для любой гладкой зависимости — первый член разложения в ряд Тейлора. Отбросив квадратичные мелочи, получаем линейное уравнение:

У слова «малые» есть точный смысл: пока отклонение невелико, линеаризация честна. Маятник с амплитудой 3° ходит как идеальный гармонический осциллятор; с амплитудой 30° период уже заметно больше, и линейная формула начинает врать. Поэтому в формулировках задач «малые колебания» — не вежливость, а условие применимости всего аппарата. В награду одно уравнение описывает и маятник, и пружину, и корабельную качку: частота различается, форма решения одинакова.

Откуда берётся возвращающая сила? Из формы потенциальной энергии: в минимуме $\Pi$ любая малая сдвижка повышает энергию, и система скатывается обратно. Ровно поэтому устойчивое равновесие — минимум $\Pi$, а максимум — неустойчивое равновесие: карандаш на острие стоит в максимуме и падает от дыхания. Проверка формы энергии — самый быстрый способ понять, будет ли система колебаться вообще, прежде чем считать частоту.

Одна степень свободы: частоту достаём из энергии#

Частоту необязательно выцарапывать из уравнений движения — её достают из энергии. Запишем закон сохранения энергии $T+\Pi =\text{const}$ и продифференцируем по времени. Для груза на пружине: $\frac{d}{dt}\left(\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{c{x}^2}{2}\right)=m\dot{x}\ddot{x}+cx\dot{x}=\dot{x}(m\ddot{x}+cx)=0$. Скобка обязана быть нулём — уравнение колебаний готово, а вместе с ним и частота $\omega =\sqrt{c/m}$.

Отсюда практический рецепт. Если кинетическая энергия собирается в вид $\frac{1}{2}{m}_{\text{эфф}}{\dot{q}}^2$, а потенциальная — в $\frac{1}{2}{c}_{\text{эфф}}{q}^2$, то $\omega =\sqrt{c_{\text{эфф}}/m_{\text{эфф}}}$. Числа: груз 0,5 кг на пружине жёсткости 200 Н/м — $\omega =\sqrt{400}=20$ рад/с, частота $\nu =20/2\pi \approx 3.2$ Гц. Две пружины параллельно дадут жёсткость $2c$ и частоту в $\sqrt{2}$ раз выше; последовательно — жёсткость $c/2$ и во столько же ниже. Массу самой пружины при аккуратном расчёте добавляют к грузу с коэффициентом одна треть: для однородной растяжимой пружины $m_{\text{эфф}}=m+m_{\text{пруж}}/3$.

Крутильные колебания — ещё один кандидат в таблицу, и он же — тест на понимание «эффективностей». Диск подвешен на упругой нити: закрутили на угол $\theta$, нить отвечает моментом $-k\theta$. Энергии: $T=I{\dot{\theta }}^2/2$ и $\Pi =k{\theta }^2/2$, откуда $\omega =\sqrt{k/I}$. Для диска с $I=0.02$ кг·м² и нити с $k=0.08$ Н·м/рад: $\omega =\sqrt{4}=2$ рад/с и период $T=\pi \approx 3.14$ с. Та же формула, что у пружины, только масса заменена моментом инерции, а жёсткость — жёсткостью нити на кручение. Так считают крутильные весы и затухание стрелок приборов. При медленном же изменении параметров осциллятора отношение энергии к частоте сохраняется — это адиабатические инварианты.

Математический и физический маятники: приведённая длина#

Математический маятник — идеализация: точка на невесомой нити. Его период $T=2\pi \sqrt{l/g}$; при $l=1$ м выходит 2,006 с — почти ровно две секунды, потому маятник длиной около метра и прозвали секундным. Массы в формуле нет: тяжёлый и лёгкий груз на одинаковой нити ходят синхронно. Подробный разбор — в словарной статье математический маятник.

Физический маятник — любое реальное тело на оси: стержень, колесо, коромысло весов. Его частота $\omega =\sqrt{mga/I}$, где $I$ — момент инерции относительно оси, $a$ — расстояние от оси до центра масс. Для расчётов его удобно пересадить на эквивалентный математический: приведённая длина $l_{\text{пр}}=I/(ma)$ — длина нити, на которой точка качалась бы с той же частотой. Моменты и пары, из которых это собирается, разобраны в уроке о моментах и парах сил, а угловая геометрия вращения — в кинематике твёрдого тела.

Числовой пример. Однородный стержень длиной 1 м качается на оси у самого конца: $I=m{l}^2/3$, $a=l/2$, значит $l_{\text{пр}}=(m{l}^2/3)/(ml/2)=2l/3\approx 0.667$ м. Период $T=2\pi \sqrt{0.667/9.81}\approx 1.64$ с — заметно меньше двух секунд метрового нитяного маятника: масса стержня распределена ближе к оси. Приведённая длина всегда лежит между осью и центром качаний, а свойство взаимности позволяет, переставив ось в центр качаний, получить тот же период — на этом строят оборотный маятник Кэтера, которым исторически мерили ускорение свободного падения.

Затухание и резонанс: что меняется, когда добавляются трение и вынуждающая сила#

Без трения колебания вечны — но это абстракция. Уравнение с вязким трением $\ddot{x}+2n\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ при малом затухании даёт колебания с почти прежней частотой, а амплитуда гаснет как $e^{-nt}$. Если к системе приложить периодическую силу, амплитуда начинает зависеть от частоты вынуждающей силы: при совпадении с собственной $\omega \approx {\omega }_0$ наступает резонанс — амплитуда вырастает в разы даже от слабой силы. Качели раскачивают маленькими толчками именно так: вовремя, а не сильно. Полученные уравнения — линейные с постоянными коэффициентами, их полный разбор лежит в курсе линейных однородных ДУ, а физическая сторона — в уроке о механических колебаниях.

Две степени свободы: две частоты и нормальные координаты#

Теперь система из двух грузов массой $m$ каждый: крайние пружины жёсткости $c$ крепят их к стенкам, средняя пружина жёсткости $C$ связывает грузы между собой. Положение задают двумя смещениями $x_1$ и $x_2$ — две степени свободы. Уравнения движения сцеплены: ускорение первого груза зависит от положения второго:

Ключевая идея — подобрать координаты, в которых уравнения развяжутся. Возьмём нормальные координаты: $q_1=(x_1+x_2)/2$ — оба груза в фазе, и $q_2=(x_1-x_2)/2$ — в противофазе. В них энергии распадаются без перекрёстных слагаемых: $T=m{\dot{q}}_1^2+m{\dot{q}}_2^2$, $\Pi =c{q}_1^2+(c+2C)q_2^2$. Получились два независимых осциллятора — и две частоты:

Смысл прозрачен. В первой моде средняя пружина не деформируется вовсе — грузы ходят синхронно, и частота такая же, как у одиночного груза. Во второй моде грузы в противофазе, средняя пружина растягивается вдвое сильнее, добавляет жёсткость $2C$ — и частота выше. Любое движение системы есть сумма двух гармоник с ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$; коэффициенты смешения зависят от начальных условий, а сами частоты — только от конструкции.

1. 1
   Модель: $m=1$ кг, крайние пружины $c=100$ Н/м, средняя $C=60$ Н/м. Координаты — смещения $x_1,x_2$ от равновесия.
2. 2
   Переход к нормальным координатам $q_1=(x_1+x_2)/2$, $q_2=(x_1-x_2)/2$: энергии распадаются на $T=m{\dot{q}}_1^2+m{\dot{q}}_2^2$ и $\Pi =c{q}_1^2+(c+2C)q_2^2$ — перекрёстных слагаемых нет.
3. 3
   Для $q_1$: осциллятор с массой $m$ и жёсткостью $c$: ${\omega }_1^2=c/m=100$, ${\omega }_1=10$ рад/с.
4. 4
   Для $q_2$: масса та же, жёсткость $c+2C=220$ Н/м: ${\omega }_2=\sqrt{220}\approx 14.8$ рад/с.
5. 5
   В герцах: $f_1=10/2\pi \approx 1.59$ Гц, $f_2=14.8/2\pi \approx 2.36$ Гц.
6. 6
   Проверка размерностей: Н/м на кг — это 1/с²; корень — рад/с. Убрали среднюю пружину ($C=0$)? Частоты слились в одну: несвязанные грузы качаются независимо, моды выродились.

Биения: медленный пульс из двух близких ритмов#

Если частоты близки, сумма мод выглядит необычно: $x=A\cos {\omega }_{1}t+A\cos {\omega }_{2}t=2A\cos \frac{({\omega }_2-{\omega }_1)t}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t}{2}$. Быстрые колебания идут на средней частоте, но их амплитуда медленно дышит с частотой $({\omega }_2-{\omega }_1)/2$. Это биения: в связанных маятниках энергия перекачивается от одного к другому и обратно с периодом $2\pi /|{\omega }_2-{\omega }_1|$. Настройщик инструментов слышит биения напрямую: две струны с частотами 440 и 442 Гц дают два «вжух» в секунду; биения исчезли — струны настроены. Чем ближе частоты, тем медленнее пульс — и тем дольше ждать, пока энергия целиком перебежит на соседний маятник.

В нашей двухмассовой системе с числами выше разность частот ${\omega }_2-{\omega }_1=4.8$ рад/с, значит энергия перебегает от груза к грузу за $2\pi /4.8\approx 1.3$ с — быстро, потому что пружины жёсткие. У слабо связанных маятников разность мала, и перекачка тянется десятками секунд. Связь решает всё: уберите среднюю пружину ($C=0$) — частоты сравняются, разность станет нулевой, биения исчезнут, и каждый груз заживёт своей жизнью.

Шпаргалка урока: порядок расчёта частот

• Убедиться, что равновесие устойчиво: потенциальная энергия — минимум
• Выбрать малые отклонения от равновесия, линеаризовать: $\sin \phi \approx \phi$
• Собрать $T$ и $\Pi$; для одной степени — сразу $\omega =\sqrt{c_{\text{эфф}}/m_{\text{эфф}}}$
• Для двух и более степеней — уравнения Лагранжа и нормальные координаты
• Проверить частоты предельными случаями: уберите связи — моды должны выродиться
• Отдельно прикинуть резонансы: что в системе работает на частотах, близких к собственным
• Держать в голове разницу единиц: $\omega$ — в рад/с, $\nu =\omega /2\pi$ — в герцах; в задачах пишут и то и другое

Следующий шаг — закрепить на бумаге: возьмите систему «груз – пружина – груз» с другими числами и выведите спектр сами, сверяясь с шагами расчёта выше; заодно пройдитесь по уравнениям Лагранжа ещё раз — энергия в обобщённых координатах даёт и уравнения, и спектр одним движением. Оттуда же легко вернуться к динамике системы точек и увидеть колебания как баланс энергий из теоремы Кёнига. А для силового взгляда на раскачку конструкций держите под рукой принцип Даламбера — динамические реакции ротора и вибрации рам считаются именно там.