⚙️ Теормех

Адиабатические инварианты

Q: Что происходит с энергией маятника при медленном изменении длины нити?

Для малых колебаний энергия пропорциональна $\omega J$, а частота $\omega = \sqrt{g/l}$. При укорачивании нити частота растёт, инвариант J держится — значит, энергия растёт вместе с частотой, и амплитуда угла меняется как $l^{-3/4}$. Работа внешней силы идёт именно на эту подкачку. При резком изменении длины инвариант теряет силу: амплитуда пересчитывается через сохранение импульса в момент рывка.

англ. Adiabatic invariants

Величины, остающиеся почти постоянными при медленном изменении параметров системы; для осциллятора — отношение энергии к частоте.

Адиабатические инварианты — величины, которые почти не меняются, когда параметры системы ползут медленно по сравнению с характерным периодом движения. Классический пример: маятник с медленно укорачивающейся нитью. Энергия при этом растёт, но отношение $E / ω$ остаётся постоянным с точностью до экспоненциально малых поправок — короткие периоды «усредняют» возмущение, и быстрые колебания не успевают накопить сдвиг.

Инвариантом служит переменная действия $J = \frac{1}{2 π} \oint p d q$ — интеграл импульса по замкнутой траектории. Медленность важна количественно: относительное изменение параметра за период должно быть много меньше единицы. Именно J квантуется в старой квантовой теории Бора. Приложения к колебаниям — в уроке малые колебания механических систем, энергия и её сохранение — в материале законы сохранения.

J = \frac{1}{2 π} \oint p d q \approx const, \frac{1}{ω} \frac{d ω}{d t} ≪ \frac{1}{T}

переменная действия сохраняется при медленном дрейфе параметров: скорость изменения частоты мала на периоде колебаний T

Частые вопросы

Что происходит с энергией маятника при медленном изменении длины нити?

Для малых колебаний энергия пропорциональна $ω J$ , а частота $ω = g / l$ . При укорачивании нити частота растёт, инвариант J держится — значит, энергия растёт вместе с частотой, и амплитуда угла меняется как $l^{- 3/4}$ . Работа внешней силы идёт именно на эту подкачку. При резком изменении длины инвариант теряет силу: амплитуда пересчитывается через сохранение импульса в момент рывка.

Насколько медленным должно быть изменение параметров?

Критерий: относительное изменение параметра за один период должно быть много меньше единицы — за сотню периодов на один процент это выполняется с запасом. Ошибки инварианта экспоненциально малы: они пропорциональны $e^{- ω / λ}$ , где λ — скорость дрейфа. Строгая теория требует также плавности изменения: резкие изломы закона движения параметра разрушают усреднение и порождают неконтролируемые скачки энергии.