Сходящиеся силы и условия равновесия: статика с примерами

Башенный кран поднимает на двух стропах бетонную плиту весом 20 кН. Стропы разведены в стороны, и стрелки динамометров показывают не по 10 кН, а больше — хотя кран поднимает ровно одну плиту. Стропальщик, который развёл ветви слишком полого, перегрузил оснастку, не подняв ни грамма лишнего. Откуда берётся эта добавка и как посчитать её заранее — стартовый вопрос статики, и отвечает на него пара уравнений проекций. Разберёмся с аппаратом, который за ними стоит.

Что такое сила с точки зрения статики?#

Сила — это мера механического взаимодействия тел, и в теоретической механике она вектор: у неё есть модуль (в ньютонах), направление и точка приложения. Обозначают её стрелкой $\vec{F}$ либо проекциями на оси — $F_x$, $F_y$, $F_z$. Модуль и направление связаны с проекциями теоремой Пифагора: $F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$ на плоскости.

Векторность — не формальность. Две силы по 5 Н, направленные в одну сторону, заменяются одной силой 10 Н; направленные навстречу — взаимно уничтожаются; под прямым углом — дают равнодействующую $5\sqrt{2}\approx 7,1$ Н. Без направления числа не значат ничего: с этим согласна и векторная алгебра из курса линейной алгебры, и инженер, который считает ферму моста. Ещё одна рабочая аксиома: силу можно переносить вдоль её линии действия, не меняя действия на абсолютно твёрдое тело — тянуть телегу за край или за середину верёвки всё равно.

Какие силы действуют на тело: активные и реакции?#

Активные силы известны заранее — вес груза, тяга мотора, давление ветра. Реакции связей заранее неизвестны: именно их ищет статика. Правило простое: реакция направлена так, чтобы запрещать то перемещение, которое запрещает связь. Типовой словарь связей стоит выучить наизусть:

• гибкая связь (нить, трос, канат) — реакция направлена вдоль нити от тела: сжать нить невозможно
• гладкая поверхность — реакция перпендикулярна опоре, трение отсутствует
• цилиндрический шарнир — направление заранее неизвестно, реакция раскладывается на две составляющие $X_A$ и $Y_A$
• жёсткая заделка — две составляющие силы плюс реактивный момент (в плоской задаче)

Какие силы называют сходящимися?#

Система сил сходящаяся, если линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Классика жанра: кольцо, к которому подвешен груз на двух тросах; узел фермы, куда сходятся стержни; шар на двух нитях. Поскольку силу разрешено переносить вдоль линии действия, всю систему можно стянуть в точку пересечения и дальше работать с пучком векторов, выходящих из одного места.

Складываются такие силы геометрически: строим силовой многоугольник, приставляя векторы хвост к голове; замыкающая из начала первого вектора в конец последнего — равнодействующая. Если многоугольник замкнулся сам на себя, равнодействующая нулевая — система уравновешена. Потрогайте это руками:

Почему в расчётах переходят к проекциям?#

Чертить многоугольники точно — занятие неблагодарное, поэтому на практике работают аналитически. Проекция силы на ось — произведение модуля на косинус угла между силой и осью: $F_x=F\cos \alpha$. Угол отсчитывается от положительного направления оси, поэтому проекция бывает и отрицательной. Тот же механизм, что и в скалярном произведении векторов.

Это правило проекции вектора: проекция суммы равна сумме проекций. Оно превращает векторную задачу в арифметику, которую легко проверить — формулы сложения собраны в шпаргалке по векторной алгебре. Типовая ошибка — брать угол от вертикали там, где он дан от горизонтали: синус и косинус меняются местами, ответ уезжает вдвое. Страховка — опорные значения:

Когда сходящаяся система уравновешена?#

Сходящаяся система сил уравновешена тогда и только тогда, когда её равнодействующая равна нулю. В проекциях это даёт основные уравнения равновесия — на плоскости их два, в пространстве три.

1. 1
   Выбираем тело или точку, о равновесии которой идёт речь, и рисуем все приложенные силы — активные и реакции связей.
2. 2
   Проверяем, что система сходится; при необходимости переносим силы вдоль линий действия в точку пересечения.
3. 3
   Проводим оси — удобно вдоль одной из неизвестных сил или перпендикулярно ей, тогда одно уравнение упрощается.
4. 4
   Записываем $\sum F_x=0$ и $\sum F_y=0$, аккуратно расставляя знаки проекций.
5. 5
   Решаем систему и проверяем результат — подстановкой в независимое уравнение или геометрически, по чертежу.

Уравнений два на плоскости — значит, найти можно ровно две неизвестные: две реакции или два натяжения. Если неизвестных больше, задача статически неопределима: без дополнительных соображений о деформациях или симметрии статика её не осилит. Эту границу полезно видеть сразу, глядя на чертёж, а не после часа безнадёжных выкладок.

В пространстве к уравнениям добавляется третье — $\sum F_z=0$, и вместе с ним третье неизвестное. Лампа на трёх тросах, растянутых к разным углам потолка, — типичная пространственная схема: три натяжения, три уравнения, и ни одного лишнего. Метод тот же, что и на плоскости, только проекций больше и геометрия хитрее; логика при этом не меняется ни на йоту.

Зачем нужна теорема о трёх непараллельных силах?#

Если абсолютно твёрдое тело находится в равновесии под действием трёх непараллельных сил, то их линии действия лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке. Доказательство короткое: две непараллельные силы пересекаются в точке O и складываются в одну; чтобы третья сила уравновесила эту пару, её линия действия обязана пройти через ту же точку, а сама сила — равняться равнодействующей по модулю и быть ей противоположной.

Практическая ценность — находить направление неизвестной реакции. Балка держится на шарнире A и наклонном стержне BC: реакция стержня идёт вдоль его оси, значит, линия действия реакции шарнира обязана пройти через точку пересечения оси стержня и линии действия нагрузки. Один взгляд на чертёж — и неизвестное направление найдено без единой выкладки. Такой приём экономит целые страницы в задачах на момент силы и пары сил, где направление реакции подставляют в уравнения моментов.

Как найти натяжения двух тросов под углами?#

Разберём задачу из вводной, только в упрощённом масштабе. К кольцу подвешен груз весом $P=1000$ Н (масса 100 кг при $g\approx 10$ м/с²). Тросы идут к анкерам влево и вправо: левый — под углом 60° к горизонту, правый — под 30°. Найти натяжения $T_1$ и $T_2$.

1. 1
   Выделяем узел (кольцо) как материальную точку и рисуем три силы: $T_1$ и $T_2$ вверх вдоль тросов и вес $P$ вертикально вниз.
2. 2
   Проекции на ось x: $-T_1\cos 60°+T_2\cos 30°=0$, то есть $0,5T_1=0,866T_2$, откуда $T_1=\sqrt{3}{T}_2$.
3. 3
   Проекции на ось y: $T_1\sin 60°+T_2\sin 30°-P=0$, то есть $0,866T_1+0,5T_2=1000$.
4. 4
   Подставляем $T_1=\sqrt{3}{T}_2$: $\frac{3}{2}{T}_2+\frac{1}{2}{T}_2=2T_2=1000$, значит $T_2=500$ Н и $T_1=500\sqrt{3}\approx 866$ Н.
5. 5
   Проверка по вертикали: $866\cdot 0,866=750$ и $500\cdot 0,5=250$; сумма ровно 1000 Н — вес груза. Сходится.

Обратите внимание на распределение ролей: крутой трос (60°) тянет преимущественно вверх и уносит три четверти веса, а пологий (30°) работает почти как растяжка — большая часть его натяжения уходит вбок. Чем пологее тросы, тем хуже: у симметричной пары натяжение равно $T=P/(2\sin \alpha )$, то есть при угле 30° каждый трос тянет с силой веса, при 10° — почти втрое сильнее веса. Именно поэтому провода линий электропередачи провисают дугой, а стропы стараются ставить как можно круче. Понадобится освежить синусы — они все в тригонометрической шпаргалке.

Как раскладывать вес на наклонной плоскости?#

Вторая классика статики. Брусок массой 10 кг лежит на плоскости с углом 30° и удерживается нитью, натянутой параллельно склону вверх. Коэффициент трения $\mu =0,2$. Найти натяжение нити и реакцию опоры. Здесь работает тот же приём — только оси удобно повернуть вдоль и поперёк склона. Прогоните решение по шагам:

Здесь спрятаны две ловушки. Первая: реакция опоры равна не весу, а $P\cos \alpha$ — те, кто об этом забывает, завышают и трение. Вторая: направление силы трения определяется тем, куда тело собирается двигаться. Если нить тянет брусок вверх по склону, а без нити он сползал бы вниз — трение смотрит вверх, и уравнение принимает вид $T+f=P\sin \alpha$. Ослабьте нить до нуля, и трение само будет держать брусок, пока $\mathrm{tg}\alpha \le \mu$. Прежде чем подставлять числа, спросите себя: а куда бы покатилось тело без удерживающей силы?

Что общего у всех этих задач и что дальше?#

Везде одна и та же последовательность: расчётная схема, оси, проекции, уравнения, проверка. Дальше по курсу силы перестанут быть сходящимися, и на сцену выйдут моменты — язык, на котором считают балки и опоры. А когда тела поедут, статика уступит место динамике: теоремам о движении системы центров масс и импульсов. Свежим фундамент под это подводят три закона Ньютона с разбором задач. Карточки ниже помогут унести с урока главное, а квиз покажет, где стоят ловушки.