Кинематика твёрдого тела: вращение и плоское движение точек

Велосипед едет со скоростью 36 км/ч — спидометр показывает десятку метров в секунду. Посмотрим на колесо: его нижняя точка, та самая, что касается асфальта, в каждый момент стоит на месте, иначе резина горела бы. А верхняя точка того же колеса в этот момент летит со скоростью 72 км/ч — вдвое быстрее велосипеда. Одна деталь, три разных скорости в один момент времени. Кинематика твёрдого тела придумана именно для таких расшифровок: как устроены скорости и ускорения точек, которые нельзя двигать поодиночке.

Какие движения твёрдого тела называют простейшими?#

Абсолютно твёрдое тело — идеализация: расстояния между любыми его точками не меняются. Это ограничение резко сокращает свободу тела, и из него следуют два простейших движения, из комбинации которых собирается всё остальное.

Поступательное движение: любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной самой себе. Кабина лифта, кузов едущей по прямой машины, педаль швейной машинки. У поступательного движения замечательное свойство: все точки тела движутся одинаково — одинаковые траектории, скорости и ускорения в каждый момент. Поэтому достаточно изучить движение одной точки, и оно тут же описывает всё тело — все методы кинематики точки применимы без переделки.

Частая путаница: поступательное движение не обязано быть прямолинейным. Кабина колеса обозрения движется поступательно — все её точки описывают одинаковые окружности, но сама кабина не поворачивается относительно горизонта, поэтому пассажир не переворачивается вверх ногами. А вот ложка на вращающейся карусели — уже нет: её ориентация меняется, значит, движение не поступательное, хотя траектории точек и похожи.

Вращательное движение вокруг оси: две точки тела (или хотя бы две точки одной прямой) неподвижны, и тело крутится вокруг этой оси. Дверь, ротор турбины, диск болгарки. Здесь все точки описывают окружности с центрами на оси, а движение всего тела целиком описывается одной функцией — уравнением вращения $\phi (t)$, углом поворота тела вокруг оси.

За рамками плоской задачи остаются винтовое движение — подъём плюс вращение, как у бура или самореза, — и сферическое движение вокруг неподвижной точки, как у волчка. В базовом курсе они обычно обзорные: вся техника вращения, которую мы строим ниже, переносится на них почти дословно.

Что описывают φ(t), ω и ε?#

Угол поворота — это «путь» для вращения, а дальше всё строится по знакомой схеме из определения производной: скорость изменения угла — угловая скорость, скорость изменения угловой скорости — угловое ускорение.

Для равномерного вращения ($\omega =\text{const}$): $\phi ={\phi }_0+\omega t$. Для равнопеременного ($\epsilon =\text{const}$): $\omega ={\omega }_0+\epsilon t$ и $\phi ={\phi }_0+{\omega }_{0}t+\epsilon t^2/2$ — двойники школьных формул для прямолинейного равноускоренного движения. Техническая единица «обороты в минуту» переводится мгновенно: за один оборот тело поворачивается на $2\pi$ радиан, поэтому $\omega =\pi n/30$ при $n$ об/мин. Мотор на 3000 об/мин крутится с $\omega =100\pi \approx 314$ рад/с.

Как найти скорость и ускорение точки вращающегося тела?#

Точка тела на расстоянии $R$ от оси движется по окружности радиуса $R$. Дуга, которую она проходит при повороте тела на угол $\phi$, равна $s=R\phi$ — отсюда всё остальное дифференцированием:

Скорость направлена по касательной к окружности, перпендикулярно радиусу. Касательное ускорение $a_{\tau }$ живёт там же — вдоль скорости — и появляется только при неравномерном вращении. Нормальное $a_n$ смотрит к оси и присутствует всегда: любая точка вращающегося тела несёт центростремительное ускорение. Модуль полного ускорения собирается по Пифагору из перпендикулярных составляющих. Посмотрите, как быстро растут эти величины с радиусом:

Квадратичная кривая всегда обгоняет линейную: на большой окружности или при больших оборотах именно нормальное ускорение становится главным потребителем прочности материала. Турбинные лопатки рвутся не от скорости как таковой, а от ${\omega }^{2}R$.

1. 1
   Установившаяся угловая скорость: $\omega =\pi n/30=1200\pi /30=40\pi \approx 125,7$ рад/с.
2. 2
   Пуск считаем равнопеременным: $\epsilon =\omega /t=125,7/10\approx 12,6$ рад/с².
3. 3
   Точка лопатки на радиусе $R=0,2$ м: скорость $v=\omega R\approx 25,1$ м/с, касательное ускорение $a_{\tau }=\epsilon R\approx 2,5$ м/с².
4. 4
   Нормальное ускорение на рабочих оборотах: $a_n={\omega }^{2}R=125,66^2\cdot 0,2\approx 3158$ м/с² — свыше трёхсот g: вот что рвёт плохо закреплённые лопатки.
5. 5
   Полное ускорение в конце разгона: $a=R\sqrt{{\epsilon }^2+{\omega }^4}\approx 3158$ м/с² — практически целиком нормальное: вклад $\epsilon R$ на фоне ${\omega }^{2}R$ исчезающе мал.

Что такое плоское движение и зачем нужен полюс?#

Плоским (или плоскопараллельным) называют движение, при котором каждая точка тела движется в своей плоскости, а все эти плоскости параллельны: колесо, катящееся по прямой; шатун, соединяющий кривошип с ползуном; книга, скользящая по столу. Теорема о разложении — центральная теорема этого раздела: любое плоское движение можно в каждый момент представить как сумму двух движений — поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом и вращения вокруг полюса.

Скорость любой точки B складывается из скорости полюса A и скорости вращения B вокруг A. Угловая скорость $\omega$ при этом одна на всё тело и не зависит от выбора полюса — в отличие от поступательной части, которая от полюса зависит. На практике полюс выбирают из удобства: точку, чья скорость известна. Формула векторная, и операции с ней — те же, что в векторном произведении: вращательная добавка перпендикулярна отрезку AB.

Модуль вращательной добавки считается мгновенно: $v_{BA}=\omega \cdot AB$ — угловая скорость, умноженная на длину отрезка между полюсом и точкой. Направлена она перпендикулярно AB в сторону вращения. Полезно отслеживать оба слагаемых порознь: поступательная часть одинакова для всех точек тела, а вращательная растёт с удалением от полюса — поэтому дальние от полюса точки всегда «самые быстрые» во вращательной части.

Где находится мгновенный центр скоростей?#

В каждый момент времени плоское движение с $\omega \ne 0$ можно описать ещё эффектнее — как чистое вращение вокруг одной точки, скорость которой в этот момент равна нулю. Она называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Если МЦС найден, всё мгновенно упрощается: скорость любой точки пропорциональна её расстоянию до МЦС, $v=\omega \cdot r$, и направлена перпендикулярно радиусу. Колесо из вводной — готовый пример: его МЦС лежит в точке касания с дорогой.

1. известны направления скоростей двух точек: МЦС — на пересечении перпендикуляров к скоростям, восстановленных в этих точках
2. скорости двух точек параллельны и перпендикулярны отрезку AB: концы векторов скоростей лежат на одной прямой — МЦС находят из пропорции $v_A/v_B=PA/PB$
3. скорости двух точек равны и параллельны: МЦС уходит в бесконечность, $\omega =0$ — мгновенно-поступательное движение
4. тело катится без проскальзывания: МЦС — в точке контакта с опорой

Что происходит в катящемся колесе?#

Соберём картинку целиком на числах вводной. Колесо радиуса $R=0,5$ м катится без проскальзывания, центр движется со скоростью $V=10$ м/с. Найдите угловую скорость и скорости характерных точек обода, прежде чем открыть шаги:

Отсюда видно, почему шины изнашиваются и обода балансируют: каждая точка обода за один оборот проходит через вершину своей траектории (циклоиды) с удвоенной скоростью машины и ускорением в двадцать жэ. Никакой мистики — чистая пропорция расстояний до МЦС.

Кстати, о циклоиде — траектории точки обода: это дуга с остриём в точке контакта и вершиной на высоте двух радиусов. В острие скорость нулевая, на вершине — двойная скорость центра, а кривизна циклоиды в вершине равна $4R$. Проверка независимым путём: $a_n=v^2/\rho =(2V{)}^2/(4R)=V^2/R={\omega }^{2}R$ — совпало с формулой ускорения вращающейся точки. Красивые совпадения в механике — это обычно два разных взгляда на одно и то же.

Как устроен кривошипно-шатунный механизм?#

Классический механизм двигателя: кривошип OA вращается вокруг O, шатун AB совершает плоское движение, ползун B ходит по прямой. Разбор всегда один и тот же: скорость точки A — из вращения кривошипа, $v_A={\omega }_{OA}\cdot OA$; скорость B направлена вдоль его направляющих; МЦС шатуна — на пересечении перпендикуляра к $v_A$ в точке A и перпендикуляра к линии движения ползуна в B. Возьмём $OA=0,1$ м и ${\omega }_{OA}=30$ рад/с: тогда $v_A=3$ м/с. В положении, когда кривошип встаёт вертикально, скорость A горизонтальна, скорость B тоже горизонтальна, и они совпадают — $v_B=v_A=3$ м/с, а шатун в этот миг не вращается вовсе: ${\omega }_{AB}=0$, МЦС уходит в бесконечность, движение шатуна мгновенно-поступательное.

Такие механизмы удобно считать и аналитически — через уравнения связей, что и делает аналитическая механика: в уравнениях Лагранжа скорости точек механизма выражаются через обобщённые координаты автоматически. А если механизм содержит колебательные звенья, их поведение разбирается в малых колебаниях механических систем.

Что взять из урока и куда идти дальше?#

Итоговая рамка простая. Поступательное движение — работаем как с точкой. Вращение вокруг оси — работаем с $\phi (t)$, $\omega$, $\epsilon$ и формулами $v=\omega R$, $a_{\tau }=\epsilon R$, $a_n={\omega }^{2}R$. Плоское движение — полюс плюс вращение, а лучший помощник — мгновенный центр скоростей. Дальше по курсу тела получат массу и инерцию: в динамике системы точек та же кинематика соединится с силами. Все формулы вращения уже собраны в шпаргалке по механике — держите её под рукой на семинарах. Каждую формулу из урока стоит прогнать хотя бы на одном числе, иначе на зачёте она всплывёт в искажённом виде. Проверьте себя на парах и квизах.