Уравнения Лагранжа II рода: как решать задачи с примерами

Двойной маятник: две нити, два груза, и каждая нить тянет оба груза сразу. Попытка написать второй закон Ньютона для каждого тела заканчивается системой из шести векторных уравнений с четырьмя неизвестными реакциями, из которых хочется выбраться. Жозеф Луи Лагранж в «Аналитической механике» 1788 года показал, как выбраться навсегда: реакции можно вообще не писать, если работать с энергией и правильно выбранными координатами. Метод настолько удачный, что вся теоретическая физика до сих пор говорит на его языке.

Обобщённые координаты: сколько чисел задают положение системы#

Связи — нити, шарниры, рельсы — запрещают части движений. Сколько независимых чисел нужно, чтобы зафиксировать положение всех точек системы? Это количество $s$ называют числом степеней свободы, а сами числа — обобщёнными координатами $q_1,\dots ,q_s$. Координатой может быть что угодно: угол, длина, даже объём — важно лишь, что через неё однозначно выражаются положения всех точек, а запреты связей учтены автоматически.

• Маятник на нерастяжимой нити — одна степень свободы: положение задаёт угол $\phi$
• Двойной маятник — две степени свободы: углы ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$
• Свободная материальная точка в пространстве — три степени свободы: $x$, $y$, $z$
• Стержень, двигающийся на плоскости, — три степени свободы: $x$, $y$ и угол поворота
• Два груза на нити, перекинутой через блок, — одна степень свободы: положение первого груза жёстко определяет второй

С числом степеней свободы связана главная роскошь метода: уравнений движения получится ровно $s$ — по одному на каждую координату. Не шесть векторов с реакциями, а два скалярных уравнения для двойного маятника. Всё лишнее отсеклось ещё при выборе координат.

Хороший выбор обобщённых координат — половина решения. В задаче о катящемся цилиндре можно взять два смещения и два угла, а потом связывать их уравнениями; можно сразу взять один угол поворота — и связей в записи не останется вовсе. Умные координаты считывают связи заранее: угол маятника, общая координата блока, длина намотки нити. Плохие координаты не делают задачу нерешаемой — лишь возвращают в неё те лишние неизвестные, от которых Лагранж обещал избавиться.

Обобщённые силы и энергия в новых координатах#

Обобщённая сила $Q_j$ — коэффициент при приращении $\delta q_j$ в выражении элементарной работы: $\delta A={\sum }_j{Q}_j\delta q_j$. Практический способ найти её: сдвинуть систему только по координате $q_j$ и посмотреть, какую работу дадут активные силы. Для консервативных систем всё ещё проще: $Q_j=-\partial \Pi /\partial q_j$ — обобщённая сила есть минус частная производная потенциальной энергии; родство с градиентом прямое — обобщённая сила и есть градиент, спроецированный на разрешённое движение.

Числовой пример. На груз маятника ($l=0.5$ м) дует горизонтальный ветер с силой $F=2$ Н. Смещение груза при повороте на $\delta \phi$ — дуга $l\delta \phi$, и в работу идёт лишь проекция ветра на касательную: $\delta A=Fl\cos \phi \delta \phi$. Значит $Q_{\phi }=Fl\cos \phi$: при вертикальном маятнике ($\phi =0$) это $1$ Н·м, при горизонтальном — ноль: ветер вдоль нити работу не делает. Уравнение Лагранжа пополнится этим слагаемым справа — а во всём остальном процедура не изменится.

Кинетическую энергию переписываем в тех же координатах. У маятника скорость груза $v=l\dot{\phi }$, поэтому $T=m{l}^2{\dot{\phi }}^2/2$, а потенциальная энергия, отсчитанная от нижней точки, равна $\Pi =mgl(1-\cos \phi )$. Обратите внимание: ни реакции нити, ни натяжения в этих выражениях нет — связи своё уже отработали, задав допустимую траекторию. Именно поэтому дальше их никто не увидит.

Уравнения Лагранжа: формулировка и откуда она берётся#

Формула ниже выглядит пугающе, но содержит ровно одну мысль: скорость изменения импульса по координате уравновешивается толчком по той же координате. Отправная точка — принцип Даламбера–Лагранжа: на любых виртуальных перемещениях, совместимых со связями, суммарная работа активных сил и сил инерции равна нулю. Идеальные связи — те, чьи реакции работы не совершают, — выпадают из этого равенства целиком: нить разрешает движение вдоль дуги и тянуть поперёк не может. Осталось выразить скорости через ${\dot{q}}_j$, собрать по частям производные — и получится компактная система:

В большинстве механических задач (их называют естественными системами) связи не зависят от времени явно, и кинетическая энергия — квадратичная форма скоростей: $T=\frac{1}{2}\sum a_{ij}{\dot{q}}_i{\dot{q}}_j$ с коэффициентами, зависящими от координат. Диагональный член $a_{jj}$ — «эффективная масса» по координате, перекрёстные — связь координат между собой. Вся теория колебаний, к которой мы подойдём, построена на приведении этой формы к диагональному виду.

Расшифруем каждый кусок. $\partial T/\partial {\dot{q}}_j$ — «импульс» по координате: для обычной точки это просто $m\dot{x}$. Производная по времени от него — скорость изменения импульса, то есть инерция. $\partial T/\partial q_j$ — поправка на явную зависимость энергии от координаты: она возникает, если нить меняет длину или оси поворачиваются. Справа — обобщённая сила. Для консервативных систем $Q_j=-\partial \Pi /\partial q_j$, и всё складывается в функцию Лагранжа $L=T-\Pi$: уравнения принимают вид $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$.

Полный пример: маятник из Лагранжа и груз на пружине#

Соберём уравнение маятника целиком — ровно так, как это выглядит на семинаре от постановки до ответа:

Груз на пружине — вторая задача на ту же машину. Координата $x$ — растяжение от положения равновесия: $T=m{\dot{x}}^2/2$, $\Pi =c{x}^2/2$. Тогда $\frac{d}{dt}(m\dot{x})-0=-cx$, то есть $m\ddot{x}+cx=0$. Для $m=2$ кг и жёсткости $c=50$ Н/м: $\omega =\sqrt{25}=5$ рад/с, частота $\nu =5/2\pi \approx 0.8$ Гц. Две строки выкладок — и никакой векторной арифметики. Полученные уравнения — линейные однородные, их решают методами курса дифференциальных уравнений.

Что вынесли из примера? Ни одной реакции, ни одного вектора, ни одной проекции. Вся механика маятника уместилась в две функции от одного угла и одну формулу. Смена задачи — маятник, пружина, кривошип — меняет лишь выбор координат и запись энергий: сама машина Лагранжа не перестраивается. Это признак хорошего метода — он переживает смену предмета без ремонта.

Маятник переменной длины: где появляется $\partial T/\partial q$

Слагаемое $\partial T/\partial q$ выглядит загадочно, пока не взять маятник с меняющейся длиной: нить наматывается на барабан, длина $l$ убывает. Теперь скорость складывается из вращательной и радиальной: $v^2=l^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{l}}^2$, и $T=m(l^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{l}}^2)/2$ зависит уже и от координаты, и от её скорости.

Уравнение по углу: $\frac{d}{dt}(m{l}^2\dot{\phi })=-mgl\sin \phi$ — момент импульса $m{l}^2\dot{\phi }$ больше не сохраняется: радиус падает, угловая скорость растёт. Тот же эффект в фигурном катании, только вместо барабана — руки, прижимаемые к оси. Пропущенное слагаемое ${\dot{l}}^2$ стёрло бы радиальную динамику целиком: вот почему $T$ пишут до последнего члена, а не «примерно».

Что метод выигрывает у векторной механики#

• Идеальные связи исключаются автоматически: реакции нитей, шарниров и опор в уравнения не попадают вовсе
• Работа идёт со скалярами $T$ и $\Pi$ вместо векторов — меньше мест, где теряются знаки и проекции
• Число уравнений равно числу степеней свободы: система не раздувается с ростом сложности
• Процедура стандартная и проверяемая: размерности, знаки, симметрия слагаемых

Справедливости ради: для одной свободной точки оба подхода дают одно и то же — выгода появляется на связанных системах. Двойной маятник векторным методом — это полстраницы проекций с реакциями; через Лагранжа — запись $T$ (куда входят перекрёстные слагаемые $m{l}_1{l}_2{\dot{\phi }}_1{\dot{\phi }}_2\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)$) и две строки уравнений. Всю механику в компактной форме несёт функция Лагранжа — разность кинетической и потенциальной энергий. Проигрыш метода тоже честен: трение в связях делает их неидеальными — реакции уже не выпадают, и их приходится вводить обобщёнными силами. И энергию надо писать честно: выброшенное перекрёстное слагаемое даёт ложную физику, которая выглядит подозрительно правдоподобно.

Связь с вариационным исчислением: наименьшее действие#

У уравнений Лагранжа есть двойник в чистой математике. Вариационное исчисление ищет функцию, дающую экстремум интегралу $S[q]=\int Ldt$; условие стационарности — знаменитое уравнение Эйлера–Лагранжа:

Совпадение форм не случайность. Принцип наименьшего действия Гамильтона утверждает: реальное движение консервативной системы делает действие $S$ стационарным среди всех мыслимых траекторий между теми же начальными и конечными точками. Природа не «выбирает» самый короткий или самый быстрый путь — она выбирает стационарный по действию, а машина Эйлера–Лагранжа выписывает для него дифференциальное уравнение. Та же схема выводит геодезические криволинейных координат и траекторию луча света в неоднородной среде: механика оказывается главой вариационного исчисления, и наоборот. Следующая ступень — гамильтонова механика: функция Гамильтона переписывает энергию через импульсы, а уравнения Гамильтона описывают движение системой первого порядка; их алгебру измеряют скобки Пуассона. Форму этих уравнений сберегают канонические преобразования, а гибрид лагранжева и гамильтонова языков для систем с циклическими координатами приводит к уравнениям Рауса.

Технически понадобятся частные производные — по скорости и по координате отдельно, — дифференцирование сложной функции и аккуратность с обозначениями. Скорости точек вращающихся и катящихся тел, из которых собирается $T$, удобно считать по правилам кинематики твёрдого тела. Дальше по курсу эта связь станет рабочим инструментом: в малых колебаниях механических систем уравнения Лагранжа в нормальных координатах выплёвывают сразу все собственные частоты. Если вы пришли сюда из динамики системы точек — сверьте: обе теории описывают одно и то же движение разными языками; силовой альтернативой Лагранжу служит принцип Даламбера — выбирайте инструмент по задаче, а не по привычке.