Уравнения Гамильтона
англ. Hamilton's equations
Система 2s канонических уравнений первого порядка: производная координаты по импульсу, производная импульса — минус градиент H.
Уравнения Гамильтона — каноническая пара для каждой переменной: , . Вместо уравнений второго порядка появляется уравнений первого порядка, симметричных по форме: координата «течёт» вдоль импульса, импульс — против градиента энергии. Для гармонического осциллятора , — две прямые связи вместо одного уравнения второго порядка.
Симметрия уравнений — не украшение: она сохраняет фазовый объём (теорема Лиувилля) и делает видимой геометрию движения. Циклические координаты сразу дают сохраняющиеся импульсы, а сама форма уравнений не меняется при канонических заменах переменных. Разбор вывода через функцию Гамильтона — в уроке уравнения Лагранжа, качественный анализ траекторий — в материале динамика системы точек.
Частые вопросы
Почему уравнения Гамильтона первого порядка, а Лагранжа — второго?
Лагранжево уравнение содержит вторую производную координаты, потому что описывает изменение ускорения через силы. В гамильтоновой форме пара (координата, импульс) удваивает число переменных, и каждая подчиняется уравнению первого порядка. Информация не теряется: система из 2s уравнений первого порядка эквивалентна s уравнениям второго порядка, а начальные условия те же — координаты и скорости в нулевой момент.
Что даёт сохранение фазового объёма на практике?
Теорема Лиувилля запрещает траекториям сжиматься в точку или растекаться: элемент фазового объёма лишь деформируется. Отсюда контроль численных методов — обычные схемы могут занижать энергию, а симплектические сохраняют фазовый объём и не «разгоняют» осциллятор. В статистической физике из этой теоремы следует равномерность распределения по энергии — фундамент микроканонического ансамбля.