Функция Гамильтона
англ. Hamiltonian
Энергия системы, выраженная через координаты и импульсы: H = T + Π, где скорости заменены обобщёнными импульсами.
Функция Гамильтона — это энергия системы, переписанная на новом языке: вместо скоростей в ней стоят обобщённые импульсы . Схема перехода проста: из лагранжиана найдите импульсы, выразите через них скорости и подставьте в . Для маятника длины получается — сумма кинетической и потенциальной частей, записанная через импульс.
Зачем менять удачный лагранжев язык на гамильтонов? Уравнения первого порядка на переменных удобны для фазовых портретов, канонической теории возмущений и перехода к квантовой механике. Связь с лагранжевой картиной разобрана в уроке уравнения Лагранжа, а движение вдоль траекторий в пространстве энергий — в материале динамика системы точек.
Частые вопросы
Чем функция Гамильтона отличается от энергии?
Для стационарных связей и консервативных сил гамильтониан совпадает с полной энергией: H = T + Π. Различие в переменных: энергия — функция координат и скоростей, а гамильтониан — координат и импульсов. Если связи нестационарны или силы непотенциальны, функция Гамильтона может отличаться от суммарной энергии и даже сохраняться при том, что энергия меняется, — например, в системе с вращающейся опорой.
Когда выгоднее гамильтонов подход вместо лагранжева?
Лагранжев способ быстрее приводит к уравнениям, поэтому для прямого вывода уравнений движения обычно берут его. Гамильтонов подход выигрывает там, где важна структура фазового пространства: качественный анализ траекторий, циклические переменные, теория возмущений, численное интегрирование симплектическими методами. Он же — мост к статистической физике и квантовой механике, где оператор энергии строится из гамильтониана.